Упр.23 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых является целым числом значение выражения:
   1) $$\frac{7n^2+3n-15}{n}$$;
   2) $$\frac{2n^3-7n^2-48}{n^2}$$;
   3) $$\frac{12n+4}{4n-3}$$.

1) $$\frac{7n^2+3n-15}{n}=7n+3-\frac{15}{n}.$$

Чтобы выражение было целым числом, нужно, чтобы $$\frac{15}{n}$$ было целым. Значит, $$n$$ — натуральный делитель числа $$15$$:

$$n=1,\ 3,\ 5,\ 15.$$

2) $$\frac{2n^3-7n^2-48}{n^2}=2n-7-\frac{48}{n^2}.$$

Чтобы выражение было целым числом, нужно, чтобы $$\frac{48}{n^2}$$ было целым, то есть $$n^2$$ делило число $$48$$. Среди квадратов натуральных чисел это возможно при

$$n^2=1,\ 4,\ 16,\ \Rightarrow\ n=1,\ 2,\ 4.$$

3) $$\frac{12n+4}{4n-3}=\frac{3(4n-3)+13}{4n-3}=3+\frac{13}{4n-3}.$$

Чтобы выражение было целым числом, нужно, чтобы $$\frac{13}{4n-3}$$ было целым. Так как $$13$$ — простое число, то

$$4n-3=1 \quad \text{или} \quad 4n-3=13.$$

Отсюда:

$$n=1 \quad \text{или} \quad n=4.$$

Ответ

1) $$n=1,\ 3,\ 5,\ 15$$; 2) $$n=1,\ 2,\ 4$$; 3) $$n=1,\ 4$$.