Упр.23 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых является целым числом значение выражения:
   1) $$\frac{6n^2+4n+10}{n}$$;
   2) $$\frac{n^3-5n^2+32}{n^2}$$;
   3) $$\frac{6n+2}{2n-3}$$.

1) $$\frac{6n^2+4n+10}{n}= \frac{6n^2}{n}+\frac{4n}{n}+\frac{10}{n}=6n+4+\frac{10}{n}.$$

Чтобы выражение было целым числом, нужно, чтобы $$\frac{10}{n}$$ было целым. Значит, $$n$$ — делитель числа $$10$$.

Подходят натуральные значения:

$$n=1,\;2,\;5,\;10.$$

2) $$\frac{n^3-5n^2+32}{n^2}= \frac{n^3}{n^2}-\frac{5n^2}{n^2}+\frac{32}{n^2}=n-5+\frac{32}{n^2}.$$

Чтобы выражение было целым числом, нужно, чтобы $$\frac{32}{n^2}$$ было целым. Значит, $$n^2$$ — делитель числа $$32$$.

Подходят натуральные значения:

$$n=1,\;2,\;4.$$

3) $$\frac{6n+2}{2n-3}=\frac{3(2n-3)+11}{2n-3}=3+\frac{11}{2n-3}.$$

Чтобы выражение было целым числом, нужно, чтобы $$\frac{11}{2n-3}$$ было целым. Тогда $$2n-3$$ — делитель числа $$11$$.

Так как $$11$$ — простое число, имеем:

$$2n-3=1,\;-1,\;11,\;-11.$$

Отсюда:

$$n=2,\;1,\;7,\;-4.$$

Натуральные значения:

$$n=1,\;2,\;7.$$

Ответ

1) $$n=1,\;2,\;5,\;10$$; 2) $$n=1,\;2,\;4$$; 3) $$n=1,\;2,\;7$$.