Упр.176 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на $$4$$, то полученная дробь будет на $$\frac{1}{3}$$ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+1$$.

После увеличения числителя и знаменателя на $$4$$ получим дробь

$$\frac{x+4}{x+5}.$$

По условию она на $$\frac13$$ больше исходной, значит

$$\frac{x+4}{x+5}-\frac{x}{x+1}=\frac13.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3(x+4)(x+1)-3x(x+5)-(x+5)(x+1)}{3(x+5)(x+1)}=0.$$

Раскроем скобки:

$$3(x^2+5x+4)-3x^2-15x-x^2-6x-5=0.$$

$$-x^2-6x+7=0.$$

$$x^2+6x-7=0.$$

Найдём корни:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=1,\qquad x_2=-7.$$

Так как числитель и знаменатель дроби должны быть положительными, подходит только $$x=1$$. Тогда знаменатель равен $$1+1=2$$.

Ответ: $$\frac12$$.