Упр.176 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Знаменатель обыкновенной дроби на 11 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на $$\frac{1}{9}$$ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+11$$.

После изменения числитель станет $$x+1$$, а знаменатель — $$x+9$$. По условию полученная дробь на $$\frac{1}{9}$$ больше исходной, значит:

$$\frac{x+1}{x+9}-\frac{x}{x+11}=\frac{1}{9}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$9(x+1)(x+11)-9x(x+9)=(x+9)(x+11).$$

Раскроем скобки:

$$9(x^2+12x+11)-9(x^2+9x)=x^2+20x+99.$$

$$9x^2+108x+99-9x^2-81x=x^2+20x+99.$$

$$27x= x^2+20x.$$

$$x^2-7x=0.$$

$$x(x-7)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=7$$. Значение $$x=0$$ не подходит, так как дробь должна быть положительной.

Тогда числитель равен $$7$$, а знаменатель:

$$7+11=18.$$

Ответ: $$\frac{7}{18}$$.