Упр.176 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби увеличить на 6, а знаменатель — на 5, то полученная дробь будет на $$\frac{1}{2}$$ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Пусть знаменатель дроби равен $$x$$, тогда числитель равен $$x-4$$.

После изменения числитель станет $$x-4+6=x+2$$, а знаменатель — $$x+5$$. По условию полученная дробь на $$\frac12$$ больше исходной, значит:

$$\frac{x+2}{x+5}-\frac{x-4}{x}=\frac12.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$2x(x+2)-2(x-4)(x+5)-x(x+5)=0.$$

Раскроем скобки:

$$2x^2+4x-2(x^2+x-20)-x^2-5x=0,$$

$$2x^2+4x-2x^2-2x+40-x^2-5x=0,$$

$$-x^2-3x+40=0,$$

$$x^2+3x-40=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-40)=9+160=169,$$

$$x=\frac{-3\pm 13}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-8,\qquad x_2=5.$$

Так как знаменатель дроби должен быть положительным, берём $$x=5$$. Тогда числитель:

$$x-4=5-4=1.$$

Искомая дробь:

$$\frac15.$$

Ответ

$$\frac15$$