Упр.174 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Теплоход прошёл 30 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на путь по течению на 30 мин меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Пусть собственная скорость теплохода равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость по течению реки равна $$x+1$$ км/ч, а против течения — $$x-1$$ км/ч.

По условию, на путь по течению теплоход затратил $$\frac{16}{x+1}$$ ч, а против течения — $$\frac{30}{x-1}$$ ч. При этом по течению он шёл на $$30$$ мин меньше, то есть на $$\frac{1}{2}$$ ч меньше:

$$\frac{30}{x-1}-\frac{16}{x+1}=\frac{1}{2}.$$

Умножим обе части на $$2(x-1)(x+1)$$:

$$60(x+1)-32(x-1)=(x-1)(x+1).$$

Раскроем скобки:

$$60x+60-32x+32=x^2-1,$$

$$28x+92=x^2-1,$$

$$x^2-28x-93=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-28)^2-4\cdot 1\cdot(-93)=784+372=1156,$$

$$\sqrt{D}=34.$$

Тогда

$$x=\frac{28\pm 34}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{62}{2}=31,\qquad x_2=\frac{-6}{2}=-3.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, подходит только $$x=31$$.

Ответ: $$31$$ км/ч.