Упр.169 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ уравнение $$\frac{x^2-3ax+2}{x+3}=0$$ имеет единственный корень?

Чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:

$$\frac{x^2-3ax+2}{x+3}=0 \quad \Longrightarrow \quad x^2-3ax+2=0,\quad x\ne -3.$$

Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

$$D=(-3a)^2-4\cdot 1\cdot 2=9a^2-8.$$

Приравниваем дискриминант к нулю:

$$9a^2-8=0,$$

$$9a^2=8,$$

$$a^2=\frac{8}{9},$$

$$a=\pm \frac{\sqrt{8}}{3}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Проверим, не нарушается ли условие $$x\ne -3$$. При $$D=0$$ корень уравнения равен

$$x=\frac{3a}{2}.$$

Для найденных значений $$a$$ получаем $$x=\pm \sqrt{2}$$, и это не равно $$-3$$, значит, условие выполнено.

Ответ

$$a=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$