Упр.169 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ уравнение $$\frac{x^2-2ax+3}{x-2}=0$$ имеет единственный корень?

Чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:

$$\frac{x^2-2ax+3}{x-2}=0,\qquad x\ne 2.$$

Тогда получаем квадратное уравнение

$$x^2-2ax+3=0.$$

Уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot 3=4a^2-12.$$

Приравняем дискриминант к нулю:

$$4a^2-12=0,$$

$$4a^2=12,$$

$$a^2=3,$$

$$a=\pm\sqrt{3}.$$

Проверим, не равен ли корень значению $$2$$. При $$a=\pm\sqrt{3}$$ единственный корень квадратного уравнения равен $$x=a$$, то есть $$x=\pm\sqrt{3}$$, и он не равен $$2$$. Значит, ограничение выполнено.

Ответ: $$a=\pm\sqrt{3}.$$