Упр.169 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ уравнение $$\frac{x^2-ax+2}{x-3}=0$$ имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^2-ax+2}{x-3}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2-ax+2=0, \qquad x\ne 3.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=a^2-4\cdot 1\cdot 2=a^2-8.$$

Тогда

$$a^2-8=0,$$

$$a^2=8,$$

$$a=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}.$$

Проверим, не равен ли корень числу $$3$$. При $$a=\pm 2\sqrt{2}$$ единственный корень квадратного уравнения равен

$$x=\frac{a}{2}=\pm \sqrt{2},$$

и он не равен $$3$$, значит, условие выполняется.

Ответ: $$a=\pm 2\sqrt{2}.$$