Упр.168 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Для каждого значения $$a$$ решите уравнение:
- $$\frac{x^2-4x+3}{x-a}=0$$;
- $$\frac{x-a}{x^2-4x+3}=0$$;
- $$\frac{x^2-(a+2)x+2a}{x-3}=0$$;
- $$\frac{x^2-(a+1)x+3a-6}{x-3}=0$$.
1) $$\frac{x^2-4x+3}{x-a}=0$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-4x+3=0,\qquad x-a\ne 0.$$
Разложим числитель на множители:
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$
Тогда
$$x=1 \text{ или } x=3,$$
но при этом должно выполняться $$x\ne a.$$
Значит, если $$a=1,$$ то подходит только $$x=3;$$ если $$a=3,$$ то подходит только $$x=1;$$ если $$a\ne 1$$ и $$a\ne 3,$$ то подходят оба корня.
2) $$\frac{x-a}{x^2-4x+3}=0$$
Здесь нужно, чтобы
$$x-a=0,\qquad x^2-4x+3\ne 0.$$
Из первого уравнения получаем $$x=a.$$ Подставим в условие знаменателя:
$$a^2-4a+3\ne 0,$$
$$(a-1)(a-3)\ne 0.$$
Следовательно, $$a\ne 1$$ и $$a\ne 3.$$ Тогда $$x=a.$$
3) $$\frac{x^2-(a+2)x+2a}{x-3}=0$$
Нужно решить уравнение
$$x^2-(a+2)x+2a=0,\qquad x\ne 3.$$
Разложим числитель на множители:
$$x^2-(a+2)x+2a=(x-2)(x-a).$$
Тогда корни:
$$x=2 \text{ и } x=a.$$
Проверим условие $$x\ne 3.$$
Если $$a=2,$$ то получаем один корень $$x=2.$$
Если $$a>2$$ и $$a\ne 3,$$ то корни $$x=2$$ и $$x=a.$$
Если $$a=3,$$ то корень $$x=3$$ не подходит, остаётся только $$x=2.$$
4) $$\frac{x^2-(a+1)x+3a-6}{x-3}=0$$
Решаем уравнение
$$x^2-(a+1)x+3a-6=0,\qquad x\ne 3.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(a+1)^2-4(3a-6)=a^2-10a+25=(a-5)^2.$$
Тогда
$$x=\frac{a+1\pm (a-5)}{2}.$$
Получаем корни:
$$x_1=\frac{a+1+a-5}{2}=a-2,$$
$$x_2=\frac{a+1-(a-5)}{2}=3.$$
Но $$x=3$$ не подходит, так как знаменатель обращается в нуль. Значит, остаётся только
$$x=a-2,$$
причём при $$a=5$$ этот корень тоже равен $$3$$ и не подходит.
Ответ
1) если $$a=1,$$ то $$x=3$$; если $$a=3,$$ то $$x=1$$; если $$a\ne 1$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=1$$ и $$x=3$$.
2) если $$a\ne 1$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=a$$; при $$a=1$$ или $$a=3$$ решений нет.
3) если $$a=2,$$ то $$x=2$$; если $$a=3,$$ то $$x=2$$; если $$a\ne 2$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=2$$ и $$x=a$$, причём $$x\ne 3.$$
4) если $$a\ne 5,$$ то $$x=a-2$$; при $$a=5$$ решений нет.
