Упр.168 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Для каждого значения $$a$$ решите уравнение: 1) $$\frac{x^2-3x+2}{x-a}=0$$; 2) $$\frac{x-a}{x^2-3x+2}=0$$; 3) $$\frac{x^2-(a+3)x+3a}{x-1}=0$$; 4) $$\frac{x^2-(a-1)x+a-2}{x-1}=0$$.

1) $$\frac{x^2-3x+2}{x-a}=0$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2-3x+2=0,\qquad x-a\ne 0.$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2).$$

Тогда

$$x=1 \text{ или } x=2,$$

при этом нужно, чтобы $$x\ne a.$$

Значит:

• если $$a=1,$$ то подходит только $$x=2$$;
• если $$a=2,$$ то подходит только $$x=1$$;
• если $$a\ne 1$$ и $$a\ne 2,$$ то оба корня подходят: $$x=1,\; x=2.$$

2) $$\frac{x-a}{x^2-3x+2}=0$$

Здесь числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:

$$x-a=0,\qquad x^2-3x+2\ne 0.$$

Отсюда $$x=a.$$

Но знаменатель обращается в нуль при $$x=1$$ и $$x=2,$$ поэтому:

• если $$a=1$$ или $$a=2,$$ то решений нет;
• если $$a\ne 1$$ и $$a\ne 2,$$ то $$x=a.$$

3) $$\frac{x^2-(a+3)x+3a}{x-1}=0$$

Необходимо, чтобы

$$x^2-(a+3)x+3a=0,\qquad x\ne 1.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(a+3)^2-12a=a^2-6a+9=(a-3)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{a+3\pm |a-3|}{2}.$$

Если $$a\ge 3,$$ то корни равны $$x=3$$ и $$x=a.$$

Если $$a<3,$$ то корни те же: $$x=3$$ и $$x=a.$$

Проверим условие $$x\ne 1$$:

• при $$a=3$$ получаем единственный корень $$x=3$$;
• при $$a>3$$ корни $$x=3$$ и $$x=a,$$ но нужно исключить случай $$a=1,$$ который здесь невозможен.

Итак, решения:

• если $$a=3,$$ то $$x=3$$;
• если $$a\ne 3,$$ то $$x=3$$ и $$x=a,$$ при этом $$x\ne 1.$$

4) $$\frac{x^2-(a-1)x+a-2}{x-1}=0$$

Требуется, чтобы

$$x^2-(a-1)x+a-2=0,\qquad x\ne 1.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a-1)^2-4(a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{a-1\pm |a-3|}{2}.$$

При $$a=3$$ получаем

$$x=\frac{3-1}{2}=1,$$

но $$x=1$$ не подходит.

При $$a>3$$ корни:

$$x_1=1,\qquad x_2=a-2.$$

Корень $$x_1=1$$ не подходит, остаётся $$x=a-2.$$

При $$a<3$$ корни также дают значение $$x=1$$, поэтому подходящих корней нет.

Ответ:

1) если $$a=1,$$ то $$x=2$$; если $$a=2,$$ то $$x=1$$; если $$a\ne 1$$ и $$a\ne 2,$$ то $$x=1,\;2$$.

2) если $$a=1$$ или $$a=2,$$ то решений нет; если $$a\ne 1$$ и $$a\ne 2,$$ то $$x=a$$.

3) если $$a=3,$$ то $$x=3$$; если $$a\ne 3,$$ то $$x=3$$ и $$x=a,$$ при $$x\ne 1$$.

4) если $$a\le 3,$$ то корней нет; если $$a>3,$$ то $$x=a-2,$$ при $$x\ne 1$$.