Упр.168 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Для каждого значения $$a$$ решите уравнение:
1) $$\frac{x^2-5x+6}{x-a}=0$$;
2) $$\frac{x-a}{x^2-5x+6}=0$$;
3) $$\frac{x^2-(a+1)x+a}{x-2}=0$$;
4) $$\frac{x^2-(a+3)x+2a+2}{x-2}=0$$.
1) $$\frac{x^2-5x+6}{x-a}=0$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-5x+6=0,\qquad x\ne a.$$
Разложим на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0.$$
Отсюда $$x=2$$ или $$x=3.$$
Проверяем знаменатель:
- если $$a=2,$$ то $$x=2$$ не подходит, остаётся $$x=3$$;
- если $$a=3,$$ то $$x=3$$ не подходит, остаётся $$x=2$$;
- если $$a\ne 2$$ и $$a\ne 3,$$ то подходят оба корня.
2) $$\frac{x-a}{x^2-5x+6}=0$$
Чтобы дробь была равна нулю, нужно:
$$x-a=0,\qquad x^2-5x+6\ne 0.$$
Из числителя получаем $$x=a.$$
Знаменатель не должен обращаться в нуль при $$x=2$$ и $$x=3,$$ значит:
- если $$a=2$$ или $$a=3,$$ решений нет;
- если $$a\ne 2$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=a.$$
3) $$\frac{x^2-(a+1)x+a}{x-2}=0$$
Необходимо, чтобы
$$x^2-(a+1)x+a=0,\qquad x\ne 2.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$
Тогда корни уравнения:
$$x_{1,2}=\frac{a+1\pm(a-1)}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=1,\qquad x_2=a.$$
Проверяем условие $$x\ne 2$$:
- если $$a=1,$$ то оба корня совпадают: $$x=1$$;
- если $$a>1,$$ то корни $$x=1$$ и $$x=a,$$ но при $$a=2$$ корень $$x=2$$ не подходит.
Итак, при $$a\ne 2$$ решения: $$x=1$$ и $$x=a,$$ а при $$a=2$$ остаётся только $$x=1.$$
4) $$\frac{x^2-(a+3)x+2a+2}{x-2}=0$$
Требуется, чтобы
$$x^2-(a+3)x+2a+2=0,\qquad x\ne 2.$$
Вычислим дискриминант:
$$D=(a+3)^2-4(2a+2)=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{a+3\pm(a-1)}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=2,\qquad x_2=a+1.$$
Но $$x=2$$ не подходит из-за знаменателя, значит:
- если $$a=1,$$ то оба корня равны $$2,$$ поэтому решений нет;
- если $$a\ne 1,$$ то подходит только $$x=a+1,$$ при этом $$a+1\ne 2.$$
Ответ
1) если $$a=2,$$ то $$x=3$$; если $$a=3,$$ то $$x=2$$; если $$a\ne 2$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=2$$ и $$x=3$$.
2) если $$a=2$$ или $$a=3,$$ то решений нет; если $$a\ne 2$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=a.$$
3) если $$a=1,$$ то $$x=1$$; если $$a\ne 2,$$ то $$x=1$$ и $$x=a$$.
4) если $$a=1,$$ то решений нет; если $$a\ne 1,$$ то $$x=a+1.$$
