Упр.167 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) Введём замену:

$$\frac{x}{2x-1}=t.$$

Тогда получаем:

$$t^2-4t+3=0.$$

$$t_1+t_2=4,\quad t_1t_2=3.$$

Отсюда:

$$t_1=3,\quad t_2=1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{x}{2x-1}=3 \Rightarrow x=3(2x-1)\Rightarrow x=6x-3\Rightarrow 5x=3\Rightarrow x=\frac35.$$

$$\frac{x}{2x-1}=1 \Rightarrow x=2x-1\Rightarrow x=1.$$

Ответ: $$x=\frac35,\; x=1.$$

2) Введём замену:

$$\frac{x+4}{x-2}=t.$$

Тогда

$$t+\frac1t=5\frac15=\frac{26}{5}.$$

Умножим на $$5t$$:

$$5t^2-26t+5=0.$$

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=576,\quad \sqrt D=24.$$

$$t_1=\frac{26-24}{10}=\frac15,\quad t_2=\frac{26+24}{10}=5.$$

Подставим:

$$\frac{x+4}{x-2}=\frac15 \Rightarrow 5(x+4)=x-2 \Rightarrow 4x=-22 \Rightarrow x=-\frac{11}{2}.$$

$$\frac{x+4}{x-2}=5 \Rightarrow x+4=5(x-2)\Rightarrow 4x=14 \Rightarrow x=\frac72.$$

Ответ: $$x=-\frac{11}{2},\; x=\frac72.$$

3) Введём замену:

$$\frac{3x-1}{x}=t.$$

Тогда

$$t-\frac{2}{5t}=\frac95.$$

Умножим на $$5t$$:

$$5t^2-9t-2=0.$$

$$D=9^2+4\cdot 5\cdot 2=121,\quad \sqrt D=11.$$

$$t_1=\frac{9-11}{10}=-\frac15,\quad t_2=\frac{9+11}{10}=2.$$

Подставим:

$$\frac{3x-1}{x}=-\frac15 \Rightarrow 5(3x-1)=-x \Rightarrow 16x=5 \Rightarrow x=\frac{5}{16}.$$

$$\frac{3x-1}{x}=2 \Rightarrow 3x-1=2x \Rightarrow x=1.$$

Ответ: $$x=\frac{5}{16},\; x=1.$$

4) В условии, судя по решению, во второй дроби должна быть запись $$5x-1$$ в знаменателе. Тогда:

$$\frac{5x-1}{x-2}+\frac{5(x-2)}{5x-1}=6.$$

Введём замену:

$$\frac{5x-1}{x-2}=t.$$

Тогда

$$t+\frac{5}{t}=6.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-6t+5=0.$$

$$t_1+t_2=6,\quad t_1t_2=5.$$

Отсюда:

$$t_1=5,\quad t_2=1.$$

Подставим:

$$\frac{5x-1}{x-2}=5 \Rightarrow 5x-1=5(x-2)\Rightarrow 0=-9,$$

значит, корней нет.

$$\frac{5x-1}{x-2}=1 \Rightarrow 5x-1=x-2 \Rightarrow 4x=-1 \Rightarrow x=-\frac14.$$

Ответ: $$x=-\frac14.$$

5) Введём замену:

$$x^2+4x-1=t.$$

Тогда

$$\frac{t}{3}-\frac{4}{3t}=1.$$

Умножим на $$3t$$:

$$t^2-3t-4=0.$$

$$t_1+t_2=3,\quad t_1t_2=-4.$$

Отсюда:

$$t_1=4,\quad t_2=-1.$$

Подставим:

$$x^2+4x-1=4 \Rightarrow x^2+4x-5=0 \Rightarrow x_1=1,\; x_2=-5.$$

$$x^2+4x-1=-1 \Rightarrow x^2+4x=0 \Rightarrow x(x+4)=0 \Rightarrow x=0,\; x=-4.$$

Ответ: $$x=-5,\; x=-4,\; x=0,\; x=1.$$

6) Введём замену:

$$\frac{x^2-6x-4}{x}=t.$$

Тогда

$$t+\frac{6}{t}=-7.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2+7t+6=0.$$

$$t_1+t_2=-7,\quad t_1t_2=6.$$

Отсюда:

$$t_1=-6,\quad t_2=-1.$$

Подставим:

$$\frac{x^2-6x-4}{x}=-6 \Rightarrow x^2-6x-4=-6x \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

$$\frac{x^2-6x-4}{x}=-1 \Rightarrow x^2-6x-4=-x \Rightarrow x^2-5x-4=0.$$

$$D=25+16=41,\quad x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}.$$

Ответ: $$x=\pm 2,\; x=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}.$$

7) Введём замену:

$$x^2-5x+6=t.$$

Тогда

$$\frac{2}{t}+\frac{3}{t+1}=\frac{8}{t+2}.$$

После преобразований получаем:

$$3t^2-4t-4=0.$$

$$D=16+48=64,\quad \sqrt D=8.$$

$$t_1=\frac{4-8}{6}=-\frac23,\quad t_2=\frac{4+8}{6}=2.$$

Подставим:

$$x^2-5x+6=-\frac23 \Rightarrow 3x^2-15x+20=0,$$

$$D=225-240=-15<0,$$

значит, корней нет.

$$x^2-5x+6=2 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow (x-1)(x-4)=0.$$

Ответ: $$x=1,\; x=4.$$

8) Введём замену:

$$x^2-3x+5=t.$$

Тогда

$$\frac{6}{t}-(t-1)=0.$$

Умножим на $$t$$:

$$6-t(t-1)=0 \Rightarrow t^2-t-6=0.$$

$$t_1+t_2=1,\quad t_1t_2=-6.$$

Отсюда:

$$t_1=3,\quad t_2=-2.$$

Подставим:

$$x^2-3x+5=3 \Rightarrow x^2-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0.$$

$$x^2-3x+5=-2 \Rightarrow x^2-3x+7=0,$$

$$D=9-28<0,$$

значит, корней нет.

Ответ: $$x=1,\; x=2.$$