Упр.167 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение методом замены переменной:
1) $$\frac{x^2}{(3x+1)^2}-\frac{6x}{3x+1}+5=0$$;
2) $$\frac{x-5}{x+3}+\frac{x+3}{x-5}=-2\frac{1}{2}$$;
3) $$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{3(2x+1)}=-\frac{8}{3}$$;
4) $$\frac{4x-3}{x+1}+\frac{4(x+1)}{4x-3}=5$$;
5) $$\frac{x^2+2x-2}{5}-\frac{6}{5x^2+10x-10}=1$$;
6) $$\frac{x^2+4x-9}{x}-\frac{4x}{x^2+4x-9}=3$$;
7) $$\frac{2}{x^2+3x+4}+\frac{3}{x^2+3x+1}=\frac{8}{x^2+3x-2}$$;
8) $$\frac{21}{x^2-4x+10}-x^2+4x=6$$.
1) Введём замену:
$$\frac{x}{3x+1}=t.$$
Тогда получаем квадратное уравнение:
$$t^2-6t+5=0.$$
$$t_1+t_2=6,\quad t_1t_2=5,$$
откуда $$t_1=5,\quad t_2=1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac{x}{3x+1}=5 \Rightarrow x=5(3x+1)\Rightarrow x=-\frac{5}{14};$$
$$\frac{x}{3x+1}=1 \Rightarrow x=3x+1\Rightarrow x=-\frac12.$$
Ответ: $$x=-\frac{5}{14};\ -\frac12.$$
2) Введём замену:
$$\frac{x-5}{x+3}=t,$$
тогда
$$t+\frac1t=-2\frac12=-\frac52.$$
Умножим на $$2t$$:
$$2t^2+5t+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$t_1=\frac{-5-3}{4}=-2,\quad t_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac12.$$
Подставим:
$$\frac{x-5}{x+3}=-2 \Rightarrow x-5=-2(x+3)\Rightarrow x=-\frac13;$$
$$\frac{x-5}{x+3}=-\frac12 \Rightarrow 2(x-5)=-(x+3)\Rightarrow x=\frac73.$$
Ответ: $$x=-\frac13;\ \frac73.$$
3) Введём замену:
$$\frac{2x+1}{x}=t.$$
Тогда
$$t+\frac{4}{3t}=-\frac83.$$
Умножим на $$3t$$:
$$3t^2+8t+4=0.$$
$$D=64-48=16,$$
$$t_1=\frac{-8-4}{6}=-2,\quad t_2=\frac{-8+4}{6}=-\frac23.$$
Подставим:
$$\frac{2x+1}{x}=-2 \Rightarrow 2x+1=-2x \Rightarrow x=-\frac14;$$
$$\frac{2x+1}{x}=-\frac23 \Rightarrow 3(2x+1)=-2x \Rightarrow x=-\frac38.$$
Ответ: $$x=-\frac14;\ -\frac38.$$
4) Введём замену:
$$\frac{4x-3}{x+1}=t.$$
Тогда
$$t+\frac4t=5.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-5t+4=0.$$
$$t_1+t_2=5,\quad t_1t_2=4,$$
откуда $$t_1=4,\quad t_2=1.$$
Подставим:
$$\frac{4x-3}{x+1}=4 \Rightarrow 4x-3=4(x+1),$$
что даёт противоречие, корней нет;
$$\frac{4x-3}{x+1}=1 \Rightarrow 4x-3=x+1 \Rightarrow x=\frac43.$$
Ответ: $$x=\frac43.$$
5) Введём замену:
$$x^2+2x-2=t.$$
Тогда
$$\frac{t}{5}-\frac{6}{5t}=1.$$
Умножим на $$5t$$:
$$t^2-5t-6=0.$$
$$t_1+t_2=5,\quad t_1t_2=-6,$$
откуда $$t_1=6,\quad t_2=-1.$$
Подставим:
$$x^2+2x-2=6 \Rightarrow x^2+2x-8=0 \Rightarrow x=-4,\ 2;$$
$$x^2+2x-2=-1 \Rightarrow x^2+2x-1=0 \Rightarrow x=-1\pm\sqrt2.$$
Ответ: $$x=-4;\ 2;\ -1\pm\sqrt2.$$
6) Введём замену:
$$\frac{x^2+4x-9}{x}=t.$$
Тогда
$$t-\frac4t=3.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-3t-4=0.$$
$$t_1+t_2=3,\quad t_1t_2=-4,$$
откуда $$t_1=4,\quad t_2=-1.$$
Подставим:
$$\frac{x^2+4x-9}{x}=4 \Rightarrow x^2+4x-9=4x \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm3;$$
$$\frac{x^2+4x-9}{x}=-1 \Rightarrow x^2+4x-9=-x \Rightarrow x^2+5x-9=0,$$
$$D=25+36=61,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}.$$
Ответ: $$x=\pm3;\ \frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}.$$
7) Введём замену:
$$x^2+3x-2=t.$$
Тогда
$$\frac{2}{t+6}+\frac{3}{t+3}=\frac{8}{t}.$$
Приведём к общему знаменателю и умножим на $$t(t+6)(t+3)$$:
$$2t(t+3)+3t(t+6)-8(t+6)(t+3)=0.$$
После раскрытия скобок:
$$-3t^2-48t-144=0,$$
$$t^2+16t+48=0.$$
$$t_1+t_2=-16,\quad t_1t_2=48,$$
откуда $$t_1=-12,\quad t_2=-4.$$
Подставим:
$$x^2+3x-2=-12 \Rightarrow x^2+3x+10=0,$$
корней нет;
$$x^2+3x-2=-4 \Rightarrow x^2+3x+2=0 \Rightarrow x=-2,\ -1.$$
Ответ: $$x=-2;\ -1.$$
8) Введём замену:
$$x^2-4x+10=t.$$
Тогда
$$\frac{21}{t}-(t-4)=0.$$
Умножим на $$t$$:
$$21-t(t-4)=0,$$
$$t^2-4t-21=0.$$
$$t_1+t_2=4,\quad t_1t_2=-21,$$
откуда $$t_1=7,\quad t_2=-3.$$
Подставим:
$$x^2-4x+10=7 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=1,\ 3;$$
$$x^2-4x+10=-3 \Rightarrow x^2-4x+13=0,$$
$$D=16-52<0,$$
корней нет.
Ответ: $$x=1;\ 3.$$
