Упр.167 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Пусть $$t=\dfrac{x}{2x+3}$$, тогда $$x\neq -\dfrac{3}{2}$$ и получаем

$$t^2-3t+2=0.$$

$$t_1+t_2=3,\quad t_1t_2=2,$$

откуда $$t_1=1,\quad t_2=2.$$

Тогда

$$\dfrac{x}{2x+3}=1 \Rightarrow x=2x+3 \Rightarrow x=-3,$$

$$\dfrac{x}{2x+3}=2 \Rightarrow x=4x+6 \Rightarrow x=-2.$$

Ответ: $$x=-3;\; x=-2.$$

Пусть $$t=\dfrac{x-3}{x+2}$$, тогда $$x\neq -2,\; x\neq 3.$$

Так как $$\dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{1}{t},$$ имеем

$$t+\dfrac{1}{t}=4\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}.$$

Умножим на $$4t$$:

$$4t^2-17t+4=0.$$

$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=225,\quad \sqrt D=15.$$

$$t_1=\dfrac{17-15}{8}=\dfrac14,\quad t_2=\dfrac{17+15}{8}=4.$$

Тогда

$$\dfrac{x-3}{x+2}=\dfrac14 \Rightarrow 4(x-3)=x+2 \Rightarrow x=\dfrac{14}{3},$$

$$\dfrac{x-3}{x+2}=4 \Rightarrow x-3=4(x+2) \Rightarrow x=-\dfrac{11}{3}.$$

Ответ: $$x=-\dfrac{11}{3};\; x=\dfrac{14}{3}.$$

Пусть $$t=\dfrac{x-1}{x}$$, тогда $$x\neq 0,\; x\neq 1.$$

Заметим, что

$$\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{t}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$t-\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{t}=-\dfrac{5}{2}.$$

Умножим на $$2t$$:

$$2t^2+5t-3=0.$$

$$D=25+24=49,\quad \sqrt D=7.$$

$$t_1=\dfrac{-5-7}{4}=-3,\quad t_2=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12.$$

Тогда

$$\dfrac{x-1}{x}=-3 \Rightarrow x=\dfrac14,$$

$$\dfrac{x-1}{x}=\dfrac12 \Rightarrow x=2.$$

Ответ: $$x=\dfrac14;\; x=2.$$

Пусть $$t=\dfrac{3x+4}{x-2}$$, тогда $$x\neq 2,\; x\neq -\dfrac43.$$

Так как $$\dfrac{6(x-2)}{3x+4}=\dfrac{6}{t},$$ получаем

$$t-\dfrac{6}{t}=1.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-t-6=0.$$

$$t_1+t_2=1,\quad t_1t_2=-6,$$

откуда $$t_1=3,\quad t_2=-2.$$

Тогда

$$\dfrac{3x+4}{x-2}=3 \Rightarrow 3x+4=3x-6,$$

что невозможно, а значит корней нет.

$$\dfrac{3x+4}{x-2}=-2 \Rightarrow 3x+4=-2(x-2) \Rightarrow x=0.$$

Ответ: $$x=0.$$

Пусть $$t=x^2+x-3,$$ тогда $$t\neq 0.$$

Так как $$2x^2+2x-6=2t,$$ имеем

$$\dfrac{t}{2}-\dfrac{3}{2t}=1.$$

Умножим на $$2t$$:

$$t^2-2t-3=0.$$

$$t_1+t_2=2,\quad t_1t_2=-3,$$

откуда $$t_1=3,\quad t_2=-1.$$

Тогда

$$x^2+x-3=3 \Rightarrow x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3,\; x=2,$$

$$x^2+x-3=-1 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-2,\; x=1.$$

Ответ: $$x=-3;\; x=-2;\; x=1;\; x=2.$$

Пусть $$t=\dfrac{x^2-x-1}{x},$$ тогда $$x\neq 0.$$

Так как $$\dfrac{6x}{x^2-x-1}=\dfrac{6}{t},$$ получаем

$$t-\dfrac{6}{t}=5.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-5t-6=0.$$

$$t_1+t_2=5,\quad t_1t_2=-6,$$

откуда $$t_1=6,\quad t_2=-1.$$

Тогда

$$\dfrac{x^2-x-1}{x}=6 \Rightarrow x^2-7x-1=0,$$

$$D=49+4=53,\quad x=\dfrac{7\pm \sqrt{53}}{2};$$

$$\dfrac{x^2-x-1}{x}=-1 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Ответ: $$x=\dfrac{7-\sqrt{53}}{2};\; x=\dfrac{7+\sqrt{53}}{2};\; x=-1;\; x=1.$$

Пусть $$t=\dfrac{1}{x^2-3x+3}.$$ Тогда

$$\dfrac{2}{x^2-3x+4}= \dfrac{2}{\frac{1}{t}+1}=\dfrac{2t}{t+1},\qquad \dfrac{6}{x^2-3x+5}=\dfrac{6}{\frac{1}{t}+2}=\dfrac{6t}{2t+1}.$$

Удобнее записать через замену

$$x^2-3x+4=(x^2-3x+3)+1,\quad x^2-3x+5=(x^2-3x+3)+2.$$

Тогда

$$t+\dfrac{2t}{t+1}=\dfrac{6t}{t+2}.$$

После умножения на $$t(t+1)(t+2)$$ получаем

$$3t^2-t-2=0.$$

$$D=1+24=25,\quad \sqrt D=5.$$

$$t_1=\dfrac{1-5}{6}=-\dfrac23,\quad t_2=\dfrac{1+5}{6}=1.$$

Но $$t=\dfrac{1}{x^2-3x+3}>0,$$ значит $$t=-\dfrac23$$ не подходит.

Остаётся $$t=1$$, то есть

$$\dfrac{1}{x^2-3x+3}=1 \Rightarrow x^2-3x+2=0 \Rightarrow x=1,\; x=2.$$

Ответ: $$x=1;\; x=2.$$

Пусть $$t=x^2-6x+10,$$ тогда $$t=x^2-6x+10>0.$$

Так как $$x^2-6x+12=t+2,$$ имеем

$$\dfrac{8}{t+2}-t=0.$$

Умножим на $$t+2$$:

$$8-t(t+2)=0,$$

$$t^2+2t-8=0.$$

$$t_1+t_2=-2,\quad t_1t_2=-8,$$

откуда $$t_1=-4,\quad t_2=2.$$

Так как $$t>0,$$ значение $$t=-4$$ не подходит. Тогда

$$x^2-6x+10=2 \Rightarrow x^2-6x+8=0 \Rightarrow x=2,\; x=4.$$

Ответ: $$x=2;\; x=4.$$