Упр.166 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом замены переменной:
   
   1) $$(x^2-8)^2-5(x^2-8)-14=0;$$
   
   2) $$(x+7)^4-17(x+7)^2+16=0;$$
   
   3) $$(x^2-3x)^2-8(x^2-3x)-20=0;$$
   
   4) $$(x^2+3x-1)^2-12x^2-36x+39=0;$$
   
   5) $$(x^2-4x+1)(x^2-4x+2)=2;$$
   
   6) $$(x^4-10x^2)^2-2(x^4-10x^2)=99.$$

1) Сделаем замену: $$x^2-8=t.$$ Тогда получаем

$$t^2-5t-14=0$$

$$t_1+t_2=5,\quad t_1t_2=-14$$

$$t_1=7,\quad t_2=-2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2-8=7 \Rightarrow x^2=15 \Rightarrow x=\pm\sqrt{15},$$

$$x^2-8=-2 \Rightarrow x^2=6 \Rightarrow x=\pm\sqrt{6}.$$

2) Сделаем замену: $$\left(x+7\right)^2=t.$$ Тогда

$$t^2-17t+16=0$$

$$t_1+t_2=17,\quad t_1t_2=16$$

$$t_1=16,\quad t_2=1.$$

Тогда

$$\left(x+7\right)^2=16 \Rightarrow x+7=\pm4 \Rightarrow x=-11,\,-3,$$

$$\left(x+7\right)^2=1 \Rightarrow x+7=\pm1 \Rightarrow x=-8,\,-6.$$

3) Сделаем замену: $$x^2-3x=t.$$ Тогда

$$t^2-8t-20=0$$

$$t_1+t_2=8,\quad t_1t_2=-20$$

$$t_1=10,\quad t_2=-2.$$

Получаем:

$$x^2-3x=10 \Rightarrow x^2-3x-10=0 \Rightarrow x=5,\,-2,$$

$$x^2-3x=-2 \Rightarrow x^2-3x+2=0 \Rightarrow x=2,\,1.$$

4) Преобразуем уравнение:

$$\left(x^2+3x-1\right)^2-12x^2-36x+39=0$$

$$\left(x^2+3x-1\right)^2-12\left(x^2+3x-1\right)+27=0.$$

Сделаем замену: $$x^2+3x-1=t.$$ Тогда

$$t^2-12t+27=0$$

$$t_1+t_2=12,\quad t_1t_2=27$$

$$t_1=9,\quad t_2=3.$$

Тогда

$$x^2+3x-1=9 \Rightarrow x^2+3x-10=0 \Rightarrow x=-5,\,2,$$

$$x^2+3x-1=3 \Rightarrow x^2+3x-4=0 \Rightarrow x=-4,\,1.$$

5) Сделаем замену: $$x^2-4x+1=t.$$ Тогда

$$t(t+1)=2$$

$$t^2+t-2=0$$

$$t_1+t_2=-1,\quad t_1t_2=-2$$

$$t_1=-2,\quad t_2=1.$$

Тогда

$$x^2-4x+1=-2 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=1,\,3,$$

$$x^2-4x+1=1 \Rightarrow x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x=0,\,4.$$

6) Сделаем замену: $$x^4-10x^2=t.$$ Тогда

$$t^2-2t-99=0$$

$$t_1+t_2=2,\quad t_1t_2=-99$$

$$t_1=11,\quad t_2=-9.$$

Получаем:

$$x^4-10x^2=11 \Rightarrow x^4-10x^2-11=0.$$

Пусть $$x^2=a$$. Тогда

$$a^2-10a-11=0$$

$$a_1+a_2=10,\quad a_1a_2=-11$$

$$a_1=11,\quad a_2=-1.$$

Значит, $$x^2=11 \Rightarrow x=\pm\sqrt{11}.$$

При $$x^2=-1$$ действительных корней нет.

Теперь

$$x^4-10x^2=-9 \Rightarrow x^4-10x^2+9=0.$$

Пусть $$x^2=b$$. Тогда

$$b^2-10b+9=0$$

$$b_1+b_2=10,\quad b_1b_2=9$$

$$b_1=9,\quad b_2=1.$$

Следовательно,

$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm3,$$

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1.$$

Ответ

1) $$x=\pm\sqrt{15},\ \pm\sqrt{6}$$

2) $$x=-11,\,-8,\,-6,\,-3$$

3) $$x=-2,\,1,\,2,\,5$$

4) $$x=-5,\,-4,\,1,\,2$$

5) $$x=0,\,1,\,3,\,4$$

6) $$x=\pm\sqrt{11},\ \pm3,\ \pm1$$