Упр.166 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение методом замены переменной:

1. 1) $$(x^2-7)^2-6(x^2-7)-16=0$$;
   2) $$(x-3)^4-5(x-3)^2+4=0$$;
   3) $$(x^2+2x)^2-27(x^2+2x)+72=0$$;
   4) $$(x^2-5x-2)^2+4x^2-20x-40=0$$;
   5) $$(x^2+3x+1)(x^2+3x+3)=-1$$;
   6) $$(x^4-5x^2)^2-2(x^4-5x^2)=24$$.

1) Сделаем замену: $$x^2-7=t.$$ Тогда получаем

$$t^2-6t-16=0$$

$$D=36+64=100,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 10}{2}.$$

Отсюда $$t_1=8,\quad t_2=-2.$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2-7=8 \Rightarrow x^2=15 \Rightarrow x=\pm\sqrt{15},$$

$$x^2-7=-2 \Rightarrow x^2=5 \Rightarrow x=\pm\sqrt{5}.$$

2) Сделаем замену: $$\left(x-3\right)^2=t.$$ Тогда

$$t^2-5t+4=0$$

$$D=25-16=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$

Получаем $$t_1=4,\quad t_2=1.$$

Тогда

$$\left(x-3\right)^2=4 \Rightarrow x-3=\pm 2 \Rightarrow x=1,\;5,$$

$$\left(x-3\right)^2=1 \Rightarrow x-3=\pm 1 \Rightarrow x=2,\;4.$$

3) Сделаем замену: $$x^2+2x=t.$$ Тогда

$$t^2-27t+72=0$$

$$D=729-288=441,$$

$$t_{1,2}=\frac{27\pm 21}{2}.$$

Получаем $$t_1=24,\quad t_2=3.$$

Тогда

$$x^2+2x=24 \Rightarrow x^2+2x-24=0 \Rightarrow x=-6,\;4,$$

$$x^2+2x=3 \Rightarrow x^2+2x-3=0 \Rightarrow x=-3,\;1.$$

4) Преобразуем уравнение:

$$\left(x^2-5x-2\right)^2+4x^2-20x-40=0$$

$$\left(x^2-5x-2\right)^2+4\left(x^2-5x-2\right)-32=0.$$

Сделаем замену: $$x^2-5x-2=t.$$ Тогда

$$t^2+4t-32=0$$

$$D=16+128=144,$$

$$t_{1,2}=\frac{-4\pm 12}{2}.$$

Получаем $$t_1=4,\quad t_2=-8.$$

Тогда

$$x^2-5x-2=4 \Rightarrow x^2-5x-6=0 \Rightarrow x=6,\;-1,$$

$$x^2-5x-2=-8 \Rightarrow x^2-5x+6=0 \Rightarrow x=2,\;3.$$

5) Сделаем замену: $$x^2+3x+1=t.$$ Тогда

$$t(t+2)=-1$$

$$t^2+2t+1=0$$

$$\left(t+1\right)^2=0,$$

откуда $$t=-1.$$

Тогда

$$x^2+3x+1=-1 \Rightarrow x^2+3x+2=0 \Rightarrow x=-2,\;-1.$$

6) Сделаем замену: $$x^4-5x^2=t.$$ Тогда

$$t^2-2t-24=0$$

$$D=4+96=100,$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}.$$

Получаем $$t_1=6,\quad t_2=-4.$$

Тогда

$$x^4-5x^2=6 \Rightarrow x^4-5x^2-6=0.$$

Сделаем замену: $$x^2=a.$$ Тогда

$$a^2-5a-6=0 \Rightarrow a=6,\;-1.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$a=-1$$ не подходит, а из $$x^2=6$$ получаем

$$x=\pm\sqrt{6}.$$

Далее

$$x^4-5x^2=-4 \Rightarrow x^4-5x^2+4=0.$$

Сделаем замену: $$x^2=b.$$ Тогда

$$b^2-5b+4=0 \Rightarrow b=4,\;1.$$

Следовательно,

$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2,$$

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Ответ

1) $$x=\pm\sqrt{15},\ \pm\sqrt{5}.$$
2) $$x=1,\ 2,\ 4,\ 5.$$
3) $$x=-6,\ -3,\ 1,\ 4.$$
4) $$x=-1,\ 2,\ 3,\ 6.$$
5) $$x=-2,\ -1.$$
6) $$x=\pm\sqrt{6},\ \pm 2,\ \pm 1.$$