Упр.166 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Решите уравнение методом замены переменной:
- 1) $$\left(x^2-9\right)^2-4\left(x^2-9\right)+3=0$$;
2) $$\left(x+5\right)^4-10\left(x+5\right)^2+9=0$$;
3) $$\left(x^2+3x\right)^2-2\left(x^2+3x\right)-8=0$$;
4) $$\left(x^2+4x-4\right)^2-9x^2-36x+44=0$$;
5) $$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=12$$;
6) $$\left(x^4-2x^2\right)^2-14\left(x^4-2x^2\right)=15$$.
1) Сделаем замену: $$x^2-9=t.$$ Тогда получаем
$$t^2-4t+3=0$$
$$t_1+t_2=4,\quad t_1t_2=3,$$
откуда $$t_1=3,\quad t_2=1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x^2-9=3 \quad \text{или} \quad x^2-9=1$$
$$x^2=12 \quad \text{или} \quad x^2=10$$
$$x=\pm 2\sqrt{3} \quad \text{или} \quad x=\pm \sqrt{10}.$$
2) Сделаем замену: $$\left(x+5\right)^2=t.$$ Тогда
$$t^2-10t+9=0$$
$$t_1+t_2=10,\quad t_1t_2=9,$$
откуда $$t_1=9,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$\left(x+5\right)^2=9 \quad \text{или} \quad \left(x+5\right)^2=1$$
$$x^2+10x+25-9=0 \quad \text{или} \quad x^2+10x+25-1=0$$
$$x^2+10x+16=0 \quad \text{или} \quad x^2+10x+24=0.$$
Отсюда
$$x=-8,\,-2 \quad \text{или} \quad x=-6,\,-4.$$
3) Сделаем замену: $$x^2+3x=t.$$ Тогда
$$t^2-2t-8=0$$
$$t_1+t_2=2,\quad t_1t_2=-8,$$
откуда $$t_1=4,\quad t_2=-2.$$
Тогда
$$x^2+3x=4 \quad \text{или} \quad x^2+3x=-2$$
$$x^2+3x-4=0 \quad \text{или} \quad x^2+3x+2=0.$$
Получаем
$$x=-4,\;1 \quad \text{или} \quad x=-2,\;-1.$$
4) Преобразуем уравнение:
$$\left(x^2+4x-4\right)^2-9x^2-36x+44=0$$
$$\left(x^2+4x-4\right)^2-9\left(x^2+4x-4\right)+8=0.$$
Сделаем замену: $$x^2+4x-4=t.$$ Тогда
$$t^2-9t+8=0$$
$$t_1+t_2=9,\quad t_1t_2=8,$$
откуда $$t_1=8,\quad t_2=1.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x^2+4x-4=8 \quad \text{или} \quad x^2+4x-4=1$$
$$x^2+4x-12=0 \quad \text{или} \quad x^2+4x-5=0.$$
Тогда
$$x=-6,\;2 \quad \text{или} \quad x=-5,\;1.$$
5) Сделаем замену: $$x^2+x+1=t.$$ Тогда
$$t(t+1)=12$$
$$t^2+t-12=0$$
$$t_1+t_2=-1,\quad t_1t_2=-12,$$
откуда $$t_1=-4,\quad t_2=3.$$
Тогда
$$x^2+x+1=-4 \quad \text{или} \quad x^2+x+1=3$$
$$x^2+x+5=0 \quad \text{или} \quad x^2+x-2=0.$$
Первое уравнение действительных корней не имеет, а из второго получаем
$$x=-2,\;1.$$
6) Сделаем замену: $$x^4-2x^2=t.$$ Тогда
$$t^2-14t=15$$
$$t^2-14t-15=0$$
$$t_1+t_2=14,\quad t_1t_2=-15,$$
откуда $$t_1=15,\quad t_2=-1.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x^4-2x^2=15 \quad \text{или} \quad x^4-2x^2=-1.$$
Пусть $$x^2=b$$. Тогда для первого случая
$$b^2-2b-15=0$$
$$b_1=5,\quad b_2=-3.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то подходит только $$b=5$$, значит
$$x=\pm \sqrt{5}.$$
Для второго случая пусть $$x^2=a$$. Тогда
$$a^2-2a+1=0$$
$$\left(a-1\right)^2=0,$$
откуда $$a=1.$$ Следовательно,
$$x=\pm 1.$$
Ответ: 1) $$x=\pm 2\sqrt{3},\ \pm \sqrt{10}$$; 2) $$x=-8,\,-6,\,-4,\,-2$$; 3) $$x=-4,\,-2,\,-1,\;1$$; 4) $$x=-6,\,-5,\;1,\;2$$; 5) $$x=-2,\;1$$; 6) $$x=\pm \sqrt{5},\ \pm 1$$.
