Упр.165 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\frac{x^2-4x}{x-7}=\frac{21}{x-7}$$; 2) $$\frac{x^2-x}{x^2-9}=\frac{7x-15}{x^2-9}$$; 3) $$\frac{4x+5}{x+2}=\frac{2x-7}{3x-6}$$; 4) $$\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+13}=\frac{2}{21}$$; 5) $$\frac{5}{x^2+3x}-\frac{15}{x^2-3x}=\frac{16}{x}$$; 6) $$\frac{x+3}{x-4}-\frac{2}{x-3}=\frac{8x-22}{(x-4)(x-3)}$$; 7) $$\frac{1}{x-5}-\frac{2}{x^2+5x}=\frac{20}{x^3-25x}$$; 8) $$\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x^2+4x+16}=\frac{9x+12}{x^3-64}$$.

1) $$\frac{x^2-4x}{x-7}=\frac{21}{x-7}, \qquad x\ne 7$$

$$x^2-4x-21=0$$

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)=0$$

$$x=7 \text{ или } x=-3$$

Так как $$x\ne 7,$$ то $$x=-3.$$

2) $$\frac{x^2-x}{x^2-9}=\frac{7x-15}{x^2-9}, \qquad x\ne \pm 3$$

$$x^2-x-7x+15=0$$

$$x^2-8x+15=0$$

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)=0$$

$$x=5 \text{ или } x=3$$

Так как $$x\ne \pm 3,$$ то $$x=5.$$

3) $$\frac{4x+5}{x+2}=\frac{2x-7}{3x-6}, \qquad x\ne -2,\; x\ne 2$$

$$\left(4x+5\right)\left(3x-6\right)-\left(2x-7\right)\left(x+2\right)=0$$

$$12x^2-24x+15x-30-2x^2-4x+7x+14=0$$

$$10x^2-6x-16=0$$

$$5x^2-3x-8=0$$

$$D=9+160=169,\quad \sqrt{D}=13$$

$$x_1=\frac{3-13}{10}=-1,\qquad x_2=\frac{3+13}{10}=1{,}6$$

Оба корня подходят.

4) $$\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+13}=\frac{2}{21}, \qquad x\ne -5,\; x\ne -13$$

$$\frac{21(x+13)-21(x+5)-2(x+5)(x+13)}{21(x+5)(x+13)}=0$$

$$168-2x^2-36x-130=0$$

$$x^2+18x-19=0$$

$$D=18^2+76=400,\quad \sqrt{D}=20$$

$$x_1=\frac{-18-20}{2}=-19,\qquad x_2=\frac{-18+20}{2}=1$$

Оба корня подходят.

5) $$\frac{5}{x^2+3x}-\frac{15}{x^2-3x}=\frac{16}{x}, \qquad x\ne 0,\; x\ne \pm 3$$

$$\frac{5}{x(x+3)}-\frac{15}{x(x-3)}-\frac{16}{x}=0$$

$$5(x-3)-15(x+3)-16(x-3)(x+3)=0$$

$$5x-15-15x-45-16(x^2-9)=0$$

$$-16x^2-10x+84=0$$

$$8x^2+5x-42=0$$

$$D=25+1344=1369,\quad \sqrt{D}=37$$

$$x_1=\frac{-5-37}{16}=-\frac{21}{8},\qquad x_2=\frac{-5+37}{16}=2$$

Оба корня подходят.

6) $$\frac{x+3}{x-4}-\frac{2}{x-3}=\frac{8x-22}{(x-4)(x-3)}, \qquad x\ne 4,\; x\ne 3$$

$$\frac{(x+3)(x-3)-2(x-4)-(8x-22)}{(x-4)(x-3)}=0$$

$$x^2-9-2x+8-8x+22=0$$

$$x^2-10x+21=0$$

$$\left(x-7\right)\left(x-3\right)=0$$

$$x=7 \text{ или } x=3$$

Так как $$x\ne 3,$$ то $$x=7.$$

7) $$\frac{1}{x-5}-\frac{2}{x^2+5x}=\frac{20}{x^3-25x}, \qquad x\ne 0,\; x\ne \pm 5$$

$$\frac{1}{x-5}-\frac{2}{x(x+5)}-\frac{20}{x(x-5)(x+5)}=0$$

$$x(x+5)-2(x-5)-20=0$$

$$x^2+5x-2x+10-20=0$$

$$x^2+3x-10=0$$

$$\left(x+5\right)\left(x-2\right)=0$$

$$x=-5 \text{ или } x=2$$

Так как $$x\ne -5,$$ то $$x=2.$$

8) $$\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x^2+4x+16}=\frac{9x+12}{x^3-64}, \qquad x\ne 4$$

$$\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x^2+4x+16}-\frac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)}=0$$

$$x^2+4x+16-3(x-4)-(9x+12)=0$$

$$x^2+4x+16-3x+12-9x-12=0$$

$$x^2-8x+16=0$$

$$\left(x-4\right)^2=0$$

$$x=4$$

Но $$x=4$$ не входит в область допустимых значений, значит корней нет.

Ответ: 1) $$x=-3$$; 2) $$x=5$$; 3) $$x=-1,\; 1{,}6$$; 4) $$x=-19,\; 1$$; 5) $$x=-\frac{21}{8},\; 2$$; 6) $$x=7$$; 7) $$x=2$$; 8) корней нет.