Упр.165 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение: 1) $$\frac{x^2-9x}{x+3}=\frac{36}{x+3}$$; 2) $$\frac{x^2+x}{x^2-25}=\frac{45-3x}{x^2-25}$$; 3) $$\frac{5x-8}{x-1}=\frac{14x+12}{3x+5}$$; 4) $$\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+6}=\frac{5}{28}$$; 5) $$\frac{42}{x^2+5x}-\frac{3}{x^2-5x}=\frac{7}{x}$$; 6) $$\frac{x+8}{x-4}-\frac{4}{x-8}=\frac{2x-56}{(x-4)(x-8)}$$; 7) $$\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x^2+4x}=\frac{24}{x^3-16x}$$; 8) $$\frac{1}{x-3}-\frac{2}{x^2+3x+9}=\frac{6+7x}{x^3-27}$$.
$$\frac{x^2-9x}{x+3}=\frac{36}{x+3}, \qquad x\ne -3.$$
Умножим обе части на $$x+3$$:
$$x^2-9x=36$$
$$x^2-9x-36=0$$
$$x_1=12,\quad x_2=-3.$$
Значение $$x=-3$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль.
Ответ: $$x=12.$$
$$\frac{x^2+x}{x^2-25}=\frac{45-3x}{x^2-25}, \qquad x\ne \pm 5.$$
Умножим обе части на $$x^2-25$$:
$$x^2+x=45-3x$$
$$x^2+4x-45=0$$
$$x_1=-9,\quad x_2=5.$$
Значение $$x=5$$ не подходит.
Ответ: $$x=-9.$$
$$\frac{5x-8}{x-1}=\frac{14x+12}{3x+5}, \qquad x\ne 1,\; x\ne -\frac53.$$
Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(5x-8)(3x+5)-(14x+12)(x-1)}{(x-1)(3x+5)}=0$$
$$15x^2+25x-24x-40-(14x^2-14x+12x-12)=0$$
$$x^2+3x-28=0$$
$$x_1=-7,\quad x_2=4.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $$x=-7;\; x=4.$$
$$\frac1{x-4}-\frac1{x+6}=\frac5{28}, \qquad x\ne 4,\; x\ne -6.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{28(x+6)-28(x-4)-5(x-4)(x+6)}{28(x-4)(x+6)}=0$$
$$280-5x^2-10x+120=0$$
$$x^2+2x-80=0$$
$$x_1=-10,\quad x_2=8.$$
Оба корня подходят.
Ответ: $$x=-10;\; x=8.$$
$$\frac{42}{x^2+5x}-\frac3{x^2-5x}=\frac7x, \qquad x\ne 0,\; x\ne \pm 5.$$
Так как $$x^2+5x=x(x+5)$$ и $$x^2-5x=x(x-5)$$, получаем:
$$\frac{42}{x(x+5)}-\frac3{x(x-5)}-\frac7x=0$$
Умножим на $$x(x-5)(x+5)$$:
$$42(x-5)-3(x+5)-7(x-5)(x+5)=0$$
$$42x-210-3x-15-7(x^2-25)=0$$
$$-7x^2+39x-50=0$$
$$7x^2-39x+50=0$$
$$D=39^2-4\cdot 7\cdot 50=121,\quad \sqrt D=11.$$
$$x_1=\frac{39-11}{14}=2,\quad x_2=\frac{39+11}{14}=\frac{25}{7}=3\frac47.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $$x=2;\; x=3\frac47.$$
$$\frac{x+8}{x-4}-\frac4{x-8}=\frac{2x-56}{(x-4)(x-8)}, \qquad x\ne 4,\; x\ne 8.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+8)(x-8)-4(x-4)-(2x-56)}{(x-4)(x-8)}=0$$
$$x^2-64-4x+16-2x+56=0$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$x_1=4,\quad x_2=2.$$
Значение $$x=4$$ не подходит.
Ответ: $$x=2.$$
$$\frac1{x-4}-\frac3{x^2+4x}=\frac{24}{x^3-16x}, \qquad x\ne 0,\; x\ne \pm 4.$$
Так как $$x^2+4x=x(x+4)$$ и $$x^3-16x=x(x-4)(x+4)$$, получаем:
$$\frac1{x-4}-\frac3{x(x+4)}-\frac{24}{x(x-4)(x+4)}=0$$
Умножим на $$x(x-4)(x+4)$$:
$$x(x+4)-3(x-4)-24=0$$
$$x^2+4x-3x+12-24=0$$
$$x^2+x-12=0$$
$$x_1=-4,\quad x_2=3.$$
Значение $$x=-4$$ не подходит.
Ответ: $$x=3.$$
$$\frac1{x-3}-\frac2{x^2+3x+9}=\frac{6+7x}{x^3-27}, \qquad x\ne 3.$$
Так как $$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$$, умножим уравнение на $$x^3-27$$:
$$x^2+3x+9-2(x-3)-(6+7x)=0$$
$$x^2+3x+9-2x+6-6-7x=0$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$\left(x-3\right)^2=0$$
$$x=3,$$
но это значение не входит в ОДЗ.
Ответ: корней нет.
