Упр.165 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$\frac{x^2+8x}{x+10}=\frac{20}{x+10}$$; 2) $$\frac{2x^2-3x}{x^2-4}=\frac{2x-2}{x^2-4}$$; 3) $$\frac{5x+3}{x+5}=\frac{3x+1}{x+2}$$; 4) $$\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{4}$$; 5) $$\frac{14}{x^2-2x}-\frac{21}{x^2+2x}=\frac{5}{x}$$; 6) $$\frac{x+5}{x-2}-\frac{5}{x-5}=\frac{x-20}{(x-5)(x-2)}$$; 7) $$\frac{1}{x+6}+\frac{3}{x^2-6x}=\frac{72}{x^3-36x}$$; 8) $$\frac{3}{x-2}-\frac{13}{x^2+2x+4}=\frac{26+5x}{x^3-8}$$.
1) $$\frac{x^2+8x}{x+10}=\frac{20}{x+10}$$
ОДЗ: $$x\ne -10.$$
Умножим обе части на $$x+10$$:
$$x^2+8x=20$$
$$x^2+8x-20=0$$
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot(-20)=64+80=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 12}{2}$$
$$x_1=-10,\quad x_2=2.$$
Число $$x=-10$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=2.$$
2) $$\frac{2x^2-3x}{x^2-4}=\frac{2x-2}{x^2-4}$$
ОДЗ: $$x\ne \pm 2.$$
Умножим обе части на $$x^2-4$$:
$$2x^2-3x=2x-2$$
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=25-16=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=2.$$
Число $$x=2$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=\frac12.$$
3) $$\frac{5x+3}{x+5}=\frac{3x+1}{x+2}$$
ОДЗ: $$x\ne -5,\; x\ne -2.$$
Перемножим крест-накрест:
$$(5x+3)(x+2)=(3x+1)(x+5)$$
$$5x^2+13x+6=3x^2+16x+5$$
$$2x^2-3x+1=0$$
$$D=9-8=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=1.$$
Оба корня подходят.
4) $$\frac1{x+3}-\frac1{x+5}=\frac14$$
ОДЗ: $$x\ne -3,\; x\ne -5.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+5)-(x+3)}{(x+3)(x+5)}=\frac14$$
$$\frac{2}{(x+3)(x+5)}=\frac14$$
$$8=(x+3)(x+5)$$
$$x^2+8x+15=8$$
$$x^2+8x+7=0$$
$$D=64-28=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 6}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=-1.$$
5) $$\frac{14}{x^2-2x}-\frac{21}{x^2+2x}=\frac5x$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 2,\; x\ne -2.$$
Разложим знаменатели:
$$\frac{14}{x(x-2)}-\frac{21}{x(x+2)}=\frac5x$$
Умножим на $$x(x-2)(x+2)$$:
$$14(x+2)-21(x-2)=5(x-2)(x+2)$$
$$14x+28-21x+42=5(x^2-4)$$
$$-7x+70=5x^2-20$$
$$5x^2+7x-90=0$$
$$D=7^2-4\cdot 5\cdot(-90)=49+1800=1849,$$
$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 43}{10}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=\frac{36}{10}=3{,}6.$$
6) $$\frac{x+5}{x-2}-\frac5{x-5}=\frac{x-20}{(x-5)(x-2)}$$
ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne 5.$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{(x+5)(x-5)-5(x-2)}{(x-2)(x-5)}=\frac{x-20}{(x-5)(x-2)}$$
$$x^2-25-5x+10=x-20$$
$$x^2-5x-15=x-20$$
$$x^2-6x+5=0$$
$$(x-1)(x-5)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=5.$$
Число $$x=5$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=1.$$
7) $$\frac1{x+6}+\frac3{x^2-6x}=\frac{72}{x^3-36x}$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 6,\; x\ne -6.$$
Разложим знаменатели:
$$\frac1{x+6}+\frac3{x(x-6)}=\frac{72}{x(x^2-36)}$$
Умножим на $$x(x-6)(x+6)$$:
$$x(x-6)+3(x+6)=72$$
$$x^2-6x+3x+18=72$$
$$x^2-3x-54=0$$
$$D=9+216=225,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 15}{2}$$
$$x_1=9,\quad x_2=-6.$$
Число $$x=-6$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=9.$$
8) $$\frac3{x-2}-\frac{13}{x^2+2x+4}=\frac{26+5x}{x^3-8}$$
ОДЗ: $$x\ne 2,$$ так как $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).$$
Умножим на $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$:
$$3(x^2+2x+4)-13(x-2)=26+5x$$
$$3x^2+6x+12-13x+26=26+5x$$
$$3x^2-12x+12=0$$
$$x^2-4x+4=0$$
$$(x-2)^2=0$$
$$x=2,$$
но это значение не входит в ОДЗ. Следовательно, корней нет.
Ответ
1) $$x=2$$; 2) $$x=\frac12$$; 3) $$x=\frac12,\; 1$$; 4) $$x=-7,\; -1$$; 5) $$x=-5,\; 3{,}6$$; 6) $$x=1$$; 7) $$x=9$$; 8) корней нет.
