Упр.164 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$x^4-82x^2+81=0$$; 2) $$x^4+12x^2-64=0$$; 3) $$4x^4-21x^2+5=0$$; 4) $$3x^4+16x^2-12=0$$.

1) Сделаем замену $$x^2=t.$$ Тогда получаем:

$$t^2-82t+81=0.$$

Найдём корни:

$$D=82^2-4\cdot 81=6724-324=6400,$$

$$t_{1,2}=\frac{82\pm 80}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=81,\quad t_2=1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2=81 \Rightarrow x=\pm 9,$$

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

2) Сделаем замену $$x^2=t.$$ Тогда:

$$t^2+12t-64=0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2-4\cdot 1\cdot(-64)=144+256=400,$$

$$t_{1,2}=\frac{-12\pm 20}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=-16,\quad t_2=4.$$

Тогда

$$x^2=-16 \Rightarrow \text{корней нет},$$

$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

3) Сделаем замену $$x^2=t.$$ Тогда:

$$4t^2-21t+5=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=21^2-4\cdot 4\cdot 5=441-80=361,$$

$$\sqrt{D}=19.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{21\pm 19}{8}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac14,\quad t_2=5.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12,$$

$$x^2=5 \Rightarrow x=\pm \sqrt5.$$

4) Сделаем замену $$x^2=t.$$ Тогда:

$$3t^2+16t-12=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=16^2-4\cdot 3\cdot(-12)=256+144=400,$$

$$\sqrt{D}=20.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{-16\pm 20}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=-6,\quad t_2=\frac23.$$

Следовательно,

$$x^2=-6 \Rightarrow \text{корней нет},$$

$$x^2=\frac23 \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac23}.$$

Ответ: 1) $$x=\pm 9,\ \pm 1$$; 2) $$x=\pm 2$$; 3) $$x=\pm \frac12,\ \pm \sqrt5$$; 4) $$x=\pm \sqrt{\frac23}$$.