Упр.164 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$x^4-50x^2+49=0$$; 2) $$x^4-5x^2-36=0$$; 3) $$4x^4-13x^2+3=0$$; 4) $$3x^4+8x^2-3=0$$.
1) Сделаем замену: $$x^2=t.$$ Тогда получаем
$$t^2-50t+49=0.$$
Найдём корни:
$$D=50^2-4\cdot 49=2500-196=2304,$$
$$\sqrt{D}=48.$$
Тогда
$$t_{1,2}=\frac{50\pm 48}{2}.$$
$$t_1=49,\quad t_2=1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x^2=49 \Rightarrow x=\pm 7,$$
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Ответ: $$x=\pm 7,\ \pm 1.$$
2) Сделаем замену: $$x^2=t.$$ Тогда
$$t^2-5t-36=0.$$
Разложим на множители:
$$t^2-5t-36=(t-9)(t+4)=0.$$
Отсюда
$$t_1=9,\quad t_2=-4.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ значение $$t=-4$$ не подходит. Тогда
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Ответ: $$x=\pm 3.$$
3) Сделаем замену: $$x^2=t.$$ Тогда
$$4t^2-13t+3=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 3=169-48=121,$$
$$\sqrt{D}=11.$$
Тогда
$$t_{1,2}=\frac{13\pm 11}{8}.$$
$$t_1=\frac{24}{8}=3,\quad t_2=\frac{2}{8}=\frac14.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3},$$
$$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12.$$
Ответ: $$x=\pm \sqrt{3},\ \pm \frac12.$$
4) Сделаем замену: $$x^2=t.$$ Тогда
$$3t^2+8t-3=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=8^2-4\cdot 3\cdot (-3)=64+36=100,$$
$$\sqrt{D}=10.$$
Тогда
$$t_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{6}.$$
$$t_1=\frac{2}{6}=\frac13,\quad t_2=\frac{-18}{6}=-3.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ значение $$t=-3$$ не подходит. Тогда
$$x^2=\frac13 \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac13}=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Ответ: $$x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
