Упр.161 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\frac{17+8y}{y+4}+\frac{5y^2-5}{2y^2+7y-4}\cdot\frac{1-2y}{y-1}$$;
2. $$\frac{90-y}{y^3-25y}:\left(\frac{y+5}{4y^2-19y-5}-\frac{25}{y^2-25}\right)$$;
3. $$\left(\frac{4m}{m^2-m-6}-\frac{10}{m^2-9}\right):\frac{2m-4}{m^2+5m+6}-\frac{17-2m}{m-3}$$.

1) $$\frac{17+8y}{y+4}+\frac{5y^2-5}{2y^2+7y-4}\cdot\frac{1-2y}{y-1}$$

Разложим на множители:

$$5y^2-5=5(y-1)(y+1), \qquad 2y^2+7y-4=(2y-1)(y+4), \qquad 1-2y=-(2y-1).$$

Тогда

$$\frac{17+8y}{y+4}+\frac{5(y-1)(y+1)}{(2y-1)(y+4)}\cdot\frac{-(2y-1)}{y-1}$$

Сокращаем:

$$\frac{17+8y}{y+4}-\frac{5(y+1)}{y+4}=\frac{17+8y-5y-5}{y+4}=\frac{12+3y}{y+4}=\frac{3(y+4)}{y+4}=3.$$

2) $$\frac{90-y}{y^3-25y}:\left(\frac{y+5}{4y^2-19y-5}-\frac{25}{y^2-25}\right)$$

Разложим знаменатели на множители:

$$y^3-25y=y(y-5)(y+5),$$

$$4y^2-19y-5=(4y+1)(y-5), \qquad y^2-25=(y-5)(y+5).$$

Тогда выражение в скобках:

$$\frac{y+5}{(4y+1)(y-5)}-\frac{25}{(y-5)(y+5)}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(y+5)^2-25(4y+1)}{(4y+1)(y-5)(y+5)}=\frac{y^2+10y+25-100y-25}{(4y+1)(y^2-25)}$$

$$=\frac{y^2-90y}{(4y+1)(y^2-25)}=\frac{y(y-90)}{(4y+1)(y^2-25)}.$$

Теперь деление заменим умножением на обратную дробь:

$$\frac{90-y}{y(y-5)(y+5)}\cdot\frac{(4y+1)(y^2-25)}{y(y-90)}.$$

Так как $$90-y=-(y-90),$$ получаем

$$-\frac{4y+1}{y^2}.$$

3) $$\left(\frac{4m}{m^2-m-6}-\frac{10}{m^2-9}\right):\frac{2m-4}{m^2+5m+6}-\frac{17-2m}{m-3}$$

Разложим на множители:

$$m^2-m-6=(m-3)(m+2), \qquad m^2-9=(m-3)(m+3),$$

$$m^2+5m+6=(m+2)(m+3), \qquad 2m-4=2(m-2).$$

Тогда

$$\frac{4m}{(m-3)(m+2)}-\frac{10}{(m-3)(m+3)}$$

$$=\frac{4m(m+3)-10(m+2)}{(m-3)(m+2)(m+3)}=\frac{4m^2+2m-20}{(m-3)(m+2)(m+3)}$$

$$=\frac{2(2m^2+m-10)}{(m-3)(m+2)(m+3)}=\frac{2(2m+5)(m-2)}{(m-3)(m+2)(m+3)}.$$

Делим на $$\frac{2(m-2)}{(m+2)(m+3)}$$:

$$\frac{2(2m+5)(m-2)}{(m-3)(m+2)(m+3)}\cdot\frac{(m+2)(m+3)}{2(m-2)}=\frac{2m+5}{m-3}.$$

Теперь вычтем последнюю дробь:

$$\frac{2m+5}{m-3}-\frac{17-2m}{m-3}=\frac{4m-12}{m-3}=\frac{4(m-3)}{m-3}=4.$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$-\frac{4y+1}{y^2}$$; 3) $$4$$.