Упр.161 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Упростите выражение:
- 1) $$\frac{3y^2-12}{2y^2-15y+18}\cdot\frac{6-y}{y+2}+\frac{y}{3-2y}$$;
2) $$\frac{y+20}{4y^3-16y}:\left(\frac{y-2}{6y^2+11y-2}-\frac{4}{4-y^2}\right)$$;
3) $$\left(\frac{4a}{a^2-3a+2}+\frac{2}{a^2-1}\right):\frac{2a+4}{a^2-a-2}-\frac{a}{a-1}$$.
1) $$\frac{3y^2-12}{2y^2-15y+18}\cdot\frac{6-y}{y+2}+\frac{y}{3-2y}$$
Разложим на множители:
$$3y^2-12=3(y-2)(y+2), \quad 2y^2-15y+18=(2y-3)(y-6), \quad 6-y=-(y-6).$$
Тогда
$$\frac{3(y-2)(y+2)}{(2y-3)(y-6)}\cdot\frac{-(y-6)}{y+2}+\frac{y}{3-2y}$$
$$=-\frac{3(y-2)}{2y-3}+\frac{y}{3-2y}=-\frac{3(y-2)}{2y-3}-\frac{y}{2y-3}$$
$$=\frac{-3y+6-y}{2y-3}=\frac{-4y+6}{2y-3}=\frac{2(2y-3)}{-(2y-3)}=-2.$$
ОДЗ: $$2y^2-15y+18\ne 0,\; y\ne -2,\; 3-2y\ne 0.$$
2) $$\frac{y+20}{4y^3-16y}:\left(\frac{y-2}{6y^2+11y-2}-\frac{4}{4-y^2}\right)$$
Разложим на множители:
$$4y^3-16y=4y(y^2-4)=4y(y-2)(y+2),$$
$$6y^2+11y-2=(6y-1)(y+2), \quad 4-y^2=(2-y)(2+y)=-(y-2)(y+2).$$
Тогда
$$\frac{y-2}{(6y-1)(y+2)}-\frac{4}{4-y^2} =\frac{y-2}{(6y-1)(y+2)}+\frac{4}{(y-2)(y+2)}$$
$$=\frac{(y-2)^2+4(6y-1)}{(6y-1)(y-2)(y+2)} =\frac{y^2+20y}{(6y-1)(y^2-4)} =\frac{y(y+20)}{(6y-1)(y^2-4)}.$$
Теперь деление заменим умножением на обратную дробь:
$$\frac{y+20}{4y(y^2-4)}:\frac{y(y+20)}{(6y-1)(y^2-4)} =\frac{y+20}{4y(y^2-4)}\cdot\frac{(6y-1)(y^2-4)}{y(y+20)}$$
$$=\frac{6y-1}{4y^2}.$$
ОДЗ: $$y\ne 0,\; y\ne \pm 2,\; y\ne \frac16,\; y\ne -20.$$
3) $$\left(\frac{4a}{a^2-3a+2}+\frac{2}{a^2-1}\right):\frac{2a+4}{a^2-a-2}-\frac{a}{a-1}$$
Разложим знаменатели:
$$a^2-3a+2=(a-2)(a-1), \quad a^2-1=(a-1)(a+1), \quad a^2-a-2=(a-2)(a+1).$$
Тогда
$$\frac{4a}{(a-2)(a-1)}+\frac{2}{(a-1)(a+1)} =\frac{4a(a+1)+2(a-2)}{(a-2)(a-1)(a+1)}$$
$$=\frac{4a^2+6a-4}{(a-2)(a-1)(a+1)} =\frac{2(2a-1)(a+2)}{(a-2)(a-1)(a+1)}.$$
Далее
$$\frac{2a+4}{a^2-a-2}=\frac{2(a+2)}{(a-2)(a+1)}.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{2(2a-1)(a+2)}{(a-2)(a-1)(a+1)}\right):\left(\frac{2(a+2)}{(a-2)(a+1)}\right)-\frac{a}{a-1}$$
$$=\frac{2(2a-1)(a+2)}{(a-2)(a-1)(a+1)}\cdot\frac{(a-2)(a+1)}{2(a+2)}-\frac{a}{a-1}$$
$$=\frac{2a-1}{a-1}-\frac{a}{a-1} =\frac{a-1}{a-1}=1.$$
ОДЗ: $$a\ne 2,\; a\ne 1,\; a\ne -1.$$
Ответ: 1) $$-2$$; 2) $$\frac{6y-1}{4y^2}$$; 3) $$1$$.
