Упр.153 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-7x-3=0$$. Не решая уравнения, найдите значение выражения:

1) $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$;
2) $$x_1^2x_2+x_1x_2^2$$;
3) $$x_1^2+x_2^2$$;
4) $$x_1^3+x_2^3$$;
5) $$(x_1-x_2)^2$$;
6) $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$$.

Так как $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-7x-3=0$$, по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=7,\qquad x_1x_2=-3.$$

1. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{7}{-3}=-\frac{7}{3}.$$

2. $$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=-3\cdot 7=-21.$$

3. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7^2-2\cdot(-3)=49+6=55.$$

4. $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\bigr)$$

   $$=(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr)=7\bigl(7^2-3\cdot(-3)\bigr)=7(49+9)=406.$$

5. $$\left(x_1-x_2\right)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=7^2-4\cdot(-3)=49+12=61.$$

6. $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{55}{(-3)^2}=\frac{55}{9}.$$

Ответ: 1) $$-\frac{7}{3}$$; 2) $$-21$$; 3) $$55$$; 4) $$406$$; 5) $$61$$; 6) $$\frac{55}{9}$$.