Упр.153 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-9x+11=0$$. Не решая уравнения, найдите значение выражения:
   1) $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$;
   2) $$x_1^2x_2+x_1x_2^2$$;
   3) $$x_1^2+x_2^2$$;
   4) $$x_1^3+x_2^3$$;
   5) $$(x_1-x_2)^2$$;
   6) $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$$.

Так как $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-9x+11=0,$$ то по теореме Виета

$$x_1+x_2=9,\qquad x_1x_2=11.$$

1. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{9}{11}.$$

2. $$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=11\cdot 9=99.$$

3. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9^2-2\cdot 11=81-22=59.$$

4. $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\bigr)$$

   $$=(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr)=9(9^2-3\cdot 11)=9(81-33)=432.$$

5. $$\left(x_1-x_2\right)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9^2-4\cdot 11=81-44=37.$$

6. $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{59}{11^2}=\frac{59}{121}.$$

Ответ: 1) $$\frac{9}{11}$$; 2) $$99$$; 3) $$59$$; 4) $$432$$; 5) $$37$$; 6) $$\frac{59}{121}$$.