Упр.150 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Корни $$x_1$$ и $$x_2$$ уравнения $$x^2+ax+16=0$$ удовлетворяют условию $$x_1=4x_2$$. Найдите корни уравнения и значение $$a$$.

По теореме Виета для уравнения $$x^2+ax+16=0$$ имеем

$$x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=16.$$

По условию $$x_1=4x_2.$$ Тогда

$$4x_2+x_2=-a,\qquad 4x_2\cdot x_2=16.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 5x_2=-a,\\ 4x_2^2=16. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$x_2^2=4,\qquad x_2=2 \text{ или } x_2=-2.$$

1) Если $$x_2=2,$$ то $$x_1=4\cdot 2=8,$$ а из $$5x_2=-a$$ получаем $$10=-a,$$ значит $$a=-10.$$

2) Если $$x_2=-2,$$ то $$x_1=4\cdot(-2)=-8,$$ а из $$5x_2=-a$$ получаем $$-10=-a,$$ значит $$a=10.$$

Ответ: $$a=-10,\ x_1=8,\ x_2=2$$ или $$a=10,\ x_1=-8,\ x_2=-2.$$