Упр.143 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:
1) $$3$$ и $$5$$;
5) $$-\frac{7}{12}$$ и $$\frac{3}{2}$$;
2) $$-2$$ и $$1$$;
6) $$4-\sqrt{17}$$ и $$4+\sqrt{17}$$;
3) $$-\frac{1}{4}$$ и $$3$$;
7) $$\sqrt{11}$$ и $$-\sqrt{11}$$;
4) $$-0{,}3$$ и $$-10$$;
8) $$-7-3\sqrt{2}$$ и $$-7+3\sqrt{2}$$.

Составим квадратное уравнение по теореме Виета: если корни уравнения $$x^2+bx+c=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, то

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c.$$

1. $$x_1=3,\quad x_2=5.$$

   $$x_1+x_2=8,\qquad x_1x_2=15.$$

   Следовательно, $$b=-8,\ c=15,$$ значит

   $$x^2-8x+15=0.$$

2. $$x_1=-2,\quad x_2=1.$$

   $$x_1+x_2=-1,\qquad x_1x_2=-2.$$

   Следовательно, $$b=1,\ c=-2,$$ значит

   $$x^2+x-2=0.$$

3. $$x_1=-\frac14,\quad x_2=3.$$

   $$x_1+x_2=\frac{11}{4},\qquad x_1x_2=-\frac34.$$

   Тогда

   $$x^2-\frac{11}{4}x-\frac34=0.$$

   Умножим на $$4$$:

   $$4x^2-11x-3=0.$$

4. $$x_1=-0{,}3,\quad x_2=-10.$$

   $$x_1+x_2=-10{,}3,\qquad x_1x_2=3.$$

   Тогда

   $$x^2+10{,}3x+3=0.$$

   Умножим на $$10$$:

   $$10x^2+103x+30=0.$$

5. $$x_1=-\frac{7}{12},\quad x_2=\frac32.$$

   $$x_1+x_2=\frac{11}{12},\qquad x_1x_2=-\frac78.$$

   Тогда

   $$x^2-\frac{11}{12}x-\frac78=0.$$

   Умножим на $$24$$:

   $$24x^2-22x-21=0.$$

6. $$x_1=4-\sqrt{17},\quad x_2=4+\sqrt{17}.$$

   $$x_1+x_2=8,\qquad x_1x_2=16-17=-1.$$

   Следовательно,

   $$x^2-8x-1=0.$$

7. $$x_1=\sqrt{11},\quad x_2=-\sqrt{11}.$$

   $$x_1+x_2=0,\qquad x_1x_2=-11.$$

   Значит,

   $$x^2-11=0.$$

8. $$x_1=-7-3\sqrt2,\quad x_2=-7+3\sqrt2.$$

   $$x_1+x_2=-14,\qquad x_1x_2=49-18=31.$$

   Следовательно,

   $$x^2+14x+31=0.$$

Ответ:

1. $$x^2-8x+15=0$$
2. $$x^2+x-2=0$$
3. $$4x^2-11x-3=0$$
4. $$10x^2+103x+30=0$$
5. $$24x^2-22x-21=0$$
6. $$x^2-8x-1=0$$
7. $$x^2-11=0$$
8. $$x^2+14x+31=0$$