Упр.143 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1. $$4$$ и $$9$$;
2. $$-3$$ и $$8$$;
3. $$\frac{2}{3}$$ и $$5$$;
4. $$0{,}2$$ и $$-6$$;
5. $$-\frac{4}{9}$$ и $$-\frac{1}{6}$$;
6. $$3-\sqrt{31}$$ и $$3+\sqrt{31}$$;
7. $$\sqrt{5}$$ и $$-\sqrt{5}$$;
8. $$-11-2\sqrt{3}$$ и $$-11+2\sqrt{3}$$.

Составим квадратное уравнение по теореме Виета: если корни уравнения $$x^2+bx+c=0,$$ то

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c.$$

1. $$x_1=4,\quad x_2=9.$$

   $$4+9=13,\qquad 4\cdot 9=36.$$

   $$x^2-13x+36=0.$$

2. $$x_1=-3,\quad x_2=8.$$

   $$-3+8=5,\qquad (-3)\cdot 8=-24.$$

   $$x^2-5x-24=0.$$

3. $$x_1=\frac{2}{3},\quad x_2=5.$$

   $$\frac{2}{3}+5=\frac{17}{3},\qquad \frac{2}{3}\cdot 5=\frac{10}{3}.$$

   Умножим уравнение на $$3$$:

   $$3x^2-17x+10=0.$$

4. $$x_1=0{,}2,\quad x_2=-6.$$

   $$0{,}2+(-6)=-5{,}8,\qquad 0{,}2\cdot(-6)=-1{,}2.$$

   Умножим уравнение на $$5$$:

   $$5x^2+29x-6=0.$$

5. $$x_1=-\frac{4}{9},\quad x_2=-\frac{1}{6}.$$

   $$-\frac{4}{9}-\frac{1}{6}=-\frac{11}{18},\qquad \left(-\frac{4}{9}\right)\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{2}{27}.$$

   Умножим уравнение на $$54$$:

   $$54x^2+33x+4=0.$$

6. $$x_1=3-\sqrt{31},\quad x_2=3+\sqrt{31}.$$

   $$x_1+x_2=6,\qquad x_1x_2=9-31=-22.$$

   $$x^2-6x-22=0.$$

7. $$x_1=\sqrt{5},\quad x_2=-\sqrt{5}.$$

   $$x_1+x_2=0,\qquad x_1x_2=-5.$$

   $$x^2-5=0.$$

8. $$x_1=-11-2\sqrt{3},\quad x_2=-11+2\sqrt{3}.$$

   $$x_1+x_2=-22,\qquad x_1x_2=121-12=109.$$

   $$x^2+22x+109=0.$$

Ответ:

1. $$x^2-13x+36=0$$
2. $$x^2-5x-24=0$$
3. $$3x^2-17x+10=0$$
4. $$5x^2+29x-6=0$$
5. $$54x^2+33x+4=0$$
6. $$x^2-6x-22=0$$
7. $$x^2-5=0$$
8. $$x^2+22x+109=0$$