Упр.140 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$c$$ имеет единственный корень уравнение:
1) $$cx^2-5x+2=0$$;
2) $$(c-6)x^2+(c-4)x+2=0$$;
3) $$(c+1)x^2+(2c+2)x-5=0$$?
1) Рассмотрим уравнение $$cx^2-5x+2=0.$$
Если $$c=0,$$ то уравнение становится линейным: $$-5x+2=0,$$ и имеет единственный корень.
Если $$c\ne 0,$$ то для единственного корня нужно, чтобы дискриминант был равен нулю:
$$D=(-5)^2-4\cdot c\cdot 2=25-8c.$$
$$25-8c=0 \Rightarrow c=\frac{25}{8}.$$
Значит, уравнение имеет единственный корень при $$c=0$$ или $$c=\frac{25}{8}.$$
2) Рассмотрим уравнение $$\left(c-6\right)x^2+\left(c-4\right)x+2=0.$$
Если $$c=6,$$ то уравнение становится линейным: $$2x+2=0,$$ и имеет единственный корень.
Если $$c\ne 6,$$ то нужно, чтобы дискриминант был равен нулю:
$$D=(c-4)^2-4\cdot(c-6)\cdot 2.$$
$$D=c^2-8c+16-8c+48=c^2-16c+64=(c-8)^2.$$
$$D=0 \Rightarrow (c-8)^2=0 \Rightarrow c=8.$$
Следовательно, уравнение имеет единственный корень при $$c=6$$ или $$c=8.$$
3) Рассмотрим уравнение $$\left(c+1\right)x^2+\left(2c+2\right)x-5=0.$$
Если $$c=-1,$$ то уравнение становится линейным: $$-5=0,$$ что невозможно, значит корней нет. Поэтому этот случай не подходит.
Если $$c\ne -1,$$ то для единственного корня нужно, чтобы дискриминант был равен нулю:
$$D=(2c+2)^2-4\cdot(c+1)\cdot(-5).$$
$$D=4(c+1)^2+20(c+1)=4(c+1)(c+6).$$
$$D=0 \Rightarrow 4(c+1)(c+6)=0 \Rightarrow c=-1 \text{ или } c=-6.$$
Случай $$c=-1$$ не подходит, значит остаётся $$c=-6.$$
Ответ
1) $$c=0$$ или $$c=\frac{25}{8}$$; 2) $$c=6$$ или $$c=8$$; 3) $$c=-6$$.
