Упр.140 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

При каких значениях $$b$$ уравнение имеет единственный корень:
1) $$bx^2-3x-7=0$$;
2) $$(b+1)x^2+(b+3)x+2=0$$;
3) $$(b+5)x^2+(2b+10)x+4=0$$?

1) Рассмотрим уравнение $$bx^2-3x-7=0.$$

Если $$b=0,$$ то уравнение становится линейным: $$-3x-7=0,$$ и имеет единственный корень.

Если $$b\neq 0,$$ то для единственного корня нужно, чтобы дискриминант был равен нулю:

$$D=(-3)^2-4\cdot b\cdot(-7)=9+28b.$$

$$9+28b=0 \Rightarrow b=-\frac{9}{28}.$$

Ответ: $$b=0$$ или $$b=-\frac{9}{28}.$$

2) Рассмотрим уравнение $$(b+1)x^2+(b+3)x+2=0.$$

Если $$b=-1,$$ то уравнение становится линейным: $$2x+2=0,$$ и имеет единственный корень.

Если $$b\neq -1,$$ то найдём дискриминант:

$$D=(b+3)^2-4\cdot (b+1)\cdot 2=b^2-2b+1=(b-1)^2.$$

Для единственного корня нужно $$D=0,$$ значит

$$(b-1)^2=0 \Rightarrow b=1.$$

Ответ: $$b=-1$$ или $$b=1.$$

3) Рассмотрим уравнение $$(b+5)x^2+(2b+10)x+4=0.$$

Если $$b=-5,$$ то уравнение становится линейным: $$4=0,$$ что невозможно, поэтому корней нет.

Если $$b\neq -5,$$ то для единственного корня нужно $$D=0.$$ Найдём дискриминант:

$$D=(2b+10)^2-4\cdot (b+5)\cdot 4=4b^2+24b+20.$$

$$4b^2+24b+20=0 \Rightarrow b^2+6b+5=0 \Rightarrow (b+1)(b+5)=0.$$

Отсюда

$$b=-1 \quad \text{или} \quad b=-5.$$

Значение $$b=-5$$ не подходит, так как тогда уравнение не имеет корней. Значит, остаётся

$$b=-1.$$

Ответ: $$b=-1.$$