Упр.139 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Для каждого значения $$a$$ решите уравнение:
1) $$x^2+(2-4a)x+3a^2-2a=0$$;
2) $$x^2-(7a+2)x+14a=0$$;
3) $$3(a-2)x^2+(a-5)x-1=0$$.
1) $$x^2+(2-4a)x+3a^2-2a=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(2-4a)^2-4(3a^2-2a)=4-16a+16a^2-12a^2+8a=4a^2-8a+4=4(a-1)^2.$$
Тогда:
$$\sqrt{D}=2|a-1|.$$
Если $$D=0,$$ то $$a=1,$$ и
$$x=\frac{-(2-4a)}{2}=\frac{-2+4\cdot1}{2}=1.$$
Если $$D>0,$$ то $$a\ne1,$$ и корни равны
$$x_{1,2}=\frac{-(2-4a)\pm2(a-1)}{2}.$$
При $$a>1$$ получаем
$$x_1=\frac{-2+4a-2a+2}{2}=a,\qquad x_2=\frac{-2+4a+2a-2}{2}=3a-2.$$
Если $$a<1,$$ то корней нет, так как $$D<0.$$
Ответ: если $$a=1,$$ то $$x=1$$; если $$a>1,$$ то $$x=a$$ и $$x=3a-2.$$
2) $$x^2-(7a+2)x+14a=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(7a+2)^2-4\cdot14a=49a^2+28a+4-56a=49a^2-28a+4=(7a-2)^2.$$
Тогда:
$$\sqrt{D}=|7a-2|.$$
Если $$D=0,$$ то $$a=\frac27,$$ и
$$x=\frac{7a+2}{2}=\frac{7\cdot\frac27+2}{2}=2.$$
Если $$D>0,$$ то $$a\ne\frac27,$$ и
$$x_{1,2}=\frac{7a+2\pm(7a-2)}{2}.$$
При $$a>\frac27$$ получаем
$$x_1=\frac{7a+2-(7a-2)}{2}=2,\qquad x_2=\frac{7a+2+(7a-2)}{2}=7a.$$
Если $$a<\frac27,$$ то корней нет, так как $$D<0.$$
Ответ: если $$a=\frac27,$$ то $$x=2$$; если $$a>\frac27,$$ то $$x=2$$ и $$x=7a.$$
3) $$3(a-2)x^2+(a-5)x-1=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(a-5)^2-4\cdot3(a-2)\cdot(-1)=(a-5)^2+12(a-2)=a^2-10a+25+12a-24=(a+1)^2.$$
Тогда:
$$\sqrt{D}=|a+1|.$$
Если $$D=0,$$ то $$a=-1,$$ и
$$x=\frac{-(a-5)}{2\cdot3(a-2)}=\frac{-(-1-5)}{6(-1-2)}=\frac{6}{-18}=-\frac13.$$
Если $$D>0,$$ то $$a\ne-1,$$ и
$$x_{1,2}=\frac{-(a-5)\pm(a+1)}{6(a-2)}.$$
При $$a>-1$$ получаем
$$x_1=\frac{-a+5-a-1}{6(a-2)}=\frac{-2a+4}{6(a-2)}=-\frac13,\qquad x_2=\frac{-a+5+a+1}{6(a-2)}=\frac{6}{6(a-2)}=\frac1{a-2}.$$
Если $$a<-1,$$ то корней нет, так как $$D<0.$$
Ответ: если $$a=-1,$$ то $$x=-\frac13$$; если $$a>-1,$$ то $$x=-\frac13$$ и $$x=\frac1{a-2}.$$
