Упр.139 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Для каждого значения $$a$$ решите уравнение:

1) $$x^2+(1-3a)x+2a^2-2=0$$;

2) $$x^2-(5a+7)x+35a=0$$;

3) $$4(a+1)x^2+(a-3)x-1=0$$.

1) Рассмотрим уравнение $$x^2+(1-3a)x+2a^2-2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(1-3a)^2-4(2a^2-2)=1-6a+9a^2-8a^2+8=(a-3)^2.$$

Если $$D=0,$$ то

$$a-3=0,\quad a=3.$$

Тогда

$$x=\frac{-(1-3a)}{2}=\frac{-(1-9)}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Если $$D>0,$$ то $$a>3,$$ и

$$x_{1,2}=\frac{-(1-3a)\pm |a-3|}{2}.$$

Так как $$a>3,$$ то $$|a-3|=a-3,$$ значит

$$x_1=\frac{-1+3a-a+3}{2}=a+1,$$

$$x_2=\frac{-1+3a+a-3}{2}=2a-2.$$

Если $$D<0,$$ корней нет.

Ответ: если $$a=3,$$ то $$x=4;$$ если $$a>3,$$ то $$x=a+1$$ и $$x=2a-2.$$

2) Рассмотрим уравнение $$x^2-(5a+7)x+35a=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(5a+7)^2-4\cdot 35a=25a^2+70a+49-140a=25a^2-70a+49=(5a-7)^2.$$

Если $$D=0,$$ то

$$5a-7=0,\quad a=\frac{7}{5}.$$

Тогда

$$x=\frac{5a+7}{2}=\frac{5\cdot \frac75+7}{2}=\frac{14}{2}=7.$$

Если $$D>0,$$ то $$a>\frac75,$$ и

$$x_{1,2}=\frac{5a+7\pm |5a-7|}{2}.$$

Так как $$a>\frac75,$$ то $$|5a-7|=5a-7,$$ значит

$$x_1=\frac{5a+7-(5a-7)}{2}=7,$$

$$x_2=\frac{5a+7+(5a-7)}{2}=5a.$$

Если $$D<0,$$ корней нет.

Ответ: если $$a=\frac75,$$ то $$x=7;$$ если $$a>\frac75,$$ то $$x=7$$ или $$x=5a.$$

3) Рассмотрим уравнение $$4(a+1)x^2+(a-3)x-1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a-3)^2-4\cdot 4(a+1)\cdot(-1)=(a-3)^2+16(a+1)=a^2+10a+25=(a+5)^2.$$

Если $$D=0,$$ то

$$a+5=0,\quad a=-5.$$

Тогда

$$x=\frac{-(a-3)}{2\cdot 4(a+1)}=\frac{-(-5-3)}{8(-5+1)}=\frac{8}{-32}=-\frac14.$$

Если $$D>0,$$ то $$a>-5,$$ и

$$x_{1,2}=\frac{-(a-3)\pm |a+5|}{8(a+1)}.$$

Так как $$a>-5,$$ то $$|a+5|=a+5,$$ значит

$$x_1=\frac{-a+3-(a+5)}{8(a+1)}=\frac{-2a-2}{8(a+1)}=-\frac14,$$

$$x_2=\frac{-a+3+(a+5)}{8(a+1)}=\frac{8}{8(a+1)}=\frac{1}{a+1}.$$

Если $$D<0,$$ корней нет.

Ответ: если $$a=-5,$$ то $$x=-\frac14;$$ если $$a>-5,$$ то $$x=-\frac14$$ или $$x=\frac{1}{a+1}.$$