Упр.139 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Для каждого значения $$a$$ решите уравнение:
1) $$x^2+(1-5a)x+4a^2-a=0$$;
2) $$x^2-(3a+4)x+12a=0$$;
3) $$2(a-1)x^2+(a+1)x+1=0$$.

1) $$x^2+(1-5a)x+4a^2-a=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(1-5a)^2-4(4a^2-a)=1-10a+25a^2-16a^2+4a=9a^2-6a+1=(3a-1)^2.$$

Тогда:

• если $$D=0,$$ то $$3a-1=0,$$ откуда $$a=\frac13.$$

В этом случае

$$x=\frac{-(1-5a)}{2}=\frac{5a-1}{2}=\frac{5\cdot \frac13-1}{2}=\frac13.$$

• если $$D>0,$$ то $$a>\frac13.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(1-5a)-(3a-1)}{2}=\frac{2a}{2}=a,$$

$$x_2=\frac{-(1-5a)+(3a-1)}{2}=\frac{8a-2}{2}=4a-1.$$

• если $$D<0,$$ то корней нет.

Ответ: если $$a=\frac13,$$ то $$x=\frac13$$; если $$a>\frac13,$$ то $$x=a$$ и $$x=4a-1.$$

2) $$x^2-(3a+4)x+12a=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(3a+4)^2-4\cdot 12a=9a^2+24a+16-48a=9a^2-24a+16=(3a-4)^2.$$

• если $$D=0,$$ то $$3a-4=0,$$ откуда $$a=\frac43.$$

Тогда

$$x=\frac{3a+4}{2}=\frac{3\cdot \frac43+4}{2}=\frac82=4.$$

• если $$D>0,$$ то $$a>\frac43.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{3a+4-(3a-4)}{2}=\frac{8}{2}=4,$$

$$x_2=\frac{3a+4+(3a-4)}{2}=\frac{6a}{2}=3a.$$

• если $$D<0,$$ то корней нет.

Ответ: если $$a=\frac43,$$ то $$x=4$$; если $$a>\frac43,$$ то $$x=4$$ или $$x=3a.$$

3) $$2(a-1)x^2+(a+1)x+1=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4\cdot 2(a-1)=a^2+2a+1-8a+8=a^2-6a+9=(a-3)^2.$$

• если $$D=0,$$ то $$a-3=0,$$ откуда $$a=3.$$

Тогда

$$x=\frac{-(a+1)}{2\cdot 2(a-1)}=\frac{-(3+1)}{4(3-1)}=\frac{-4}{8}=-\frac12.$$

• если $$D>0,$$ то $$a>3.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(a+1)-(a-3)}{4(a-1)}=\frac{2-2a}{4(a-1)}=-\frac12,$$

$$x_2=\frac{-(a+1)+(a-3)}{4(a-1)}=\frac{-4}{4(a-1)}=-\frac{1}{a-1}.$$

• если $$D<0,$$ то корней нет.

Ответ: если $$a=3,$$ то $$x=-\frac12$$; если $$a>3,$$ то $$x=-\frac12$$ или $$x=-\frac{1}{a-1}.$$