Упр.137 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{x^2-9x-22}+\sqrt{x^2-5x-14}=0$$;
2. $$x^2-16x+64+\lvert x^2-3x-40\rvert=0$$;
3. $$\sqrt{x^2-49}+\lvert x^2+2x-80\rvert=0$$.

1. $$\sqrt{x^2-9x-22}+\sqrt{x^2-5x-14}=0$$

   Сумма двух квадратных корней равна нулю только тогда, когда каждый из них равен нулю:

   $$x^2-9x-22=0,$$

   $$x^2-5x-14=0.$$

   Решим уравнения:

   $$x^2-9x-22=0$$

   $$D=81+88=169,\quad \sqrt{D}=13$$

   $$x_1=\frac{9-13}{2}=-2,\quad x_2=\frac{9+13}{2}=11.$$

   $$x^2-5x-14=0$$

   $$D=25+56=81,\quad \sqrt{D}=9$$

   $$x_1=\frac{5-9}{2}=-2,\quad x_2=\frac{5+9}{2}=7.$$

   Общий корень у этих уравнений один: $$x=-2.$$

2. $$x^2-16x+64+|x^2-3x-40|=0$$

   Преобразуем:

   $$\left(x-8\right)^2+|x^2-3x-40|=0.$$

   Сумма неотрицательных выражений равна нулю, если каждое из них равно нулю:

   $$x-8=0,$$

   $$x^2-3x-40=0.$$

   Из первого уравнения получаем $$x=8.$$ Проверим второе:

   $$8^2-3\cdot 8-40=64-24-40=0.$$

   Значит, $$x=8.$$

3. $$\sqrt{x^2-49}+|x^2+2x-80|=0$$

   Сумма неотрицательных выражений равна нулю только при одновременном равенстве каждого из них нулю:

   $$x^2-49=0,$$

   $$x^2+2x-80=0.$$

   Из первого уравнения:

   $$x=\pm 7.$$

   Решим второе уравнение:

   $$D=4+320=324,\quad \sqrt{D}=18$$

   $$x_1=\frac{-2-18}{2}=-10,\quad x_2=\frac{-2+18}{2}=8.$$

   Общих корней нет, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: 1) $$x=-2$$; 2) $$x=8$$; 3) корней нет.