Упр.137 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1. $$\sqrt{x^2-2x-3}+\sqrt{x^2+6x+5}=0$$;
   2. $$x^2-10x+25+\left|x^2-9x+20\right|=0$$;
   3. $$\sqrt{x^2-36}+\left|x^2+6x-16\right|=0$$.

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x^2-2x-3}+\sqrt{x^2+6x+5}=0.$$

Сумма двух квадратных корней равна нулю только тогда, когда оба корня равны нулю:

$$x^2-2x-3=0,$$

$$x^2+6x+5=0.$$

Решим уравнения:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,$$

откуда $$x=-1$$ или $$x=3.$$

$$x^2+6x+5=(x+1)(x+5)=0,$$

откуда $$x=-1$$ или $$x=-5.$$

Общий корень один: $$x=-1.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$x^2-10x+25+\left|x^2-9x+20\right|=0.$$

Имеем

$$x^2-10x+25=(x-5)^2,$$

поэтому

$$(x-5)^2+\left|x^2-9x+20\right|=0.$$

Сумма неотрицательных выражений равна нулю только при

$$x-5=0,$$

$$x^2-9x+20=0.$$

Первое даёт $$x=5.$$

Второе уравнение:

$$x^2-9x+20=(x-4)(x-5)=0,$$

откуда $$x=4$$ или $$x=5.$$

Общий корень: $$x=5.$$

3) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x^2-36}+\left|x^2+6x-16\right|=0.$$

Сумма неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда

$$x^2-36=0,$$

$$x^2+6x-16=0.$$

Из первого уравнения получаем

$$x=\pm 6.$$

Из второго:

$$x^2+6x-16=(x+8)(x-2)=0,$$

откуда $$x=-8$$ или $$x=2.$$

Общих корней нет, значит, уравнение решений не имеет.

Ответ

1) $$x=-1$$; 2) $$x=5$$; 3) корней нет.