Упр.135 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение: 1) $$\left|x^2+11x-6\right|=6$$; 2) $$x^2-4\left|x\right|-32=0$$; 3) $$x\left|x\right|+5x-4=0$$; 4) $$x^2+8\sqrt{x^2}-20=0$$.
1) Рассмотрим уравнение $$|x^2+11x-6|=6.$$
Возможны два случая:
$$x^2+11x-6=6$$
$$x^2+11x-12=0$$
$$D=11^2-4\cdot 1\cdot(-12)=121+48=169,$$
$$x_{1,2}=\frac{-11\pm 13}{2}.$$
Тогда $$x_1=-12,\quad x_2=1.$$
Или
$$x^2+11x-6=-6$$
$$x^2+11x=0$$
$$x(x+11)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=-11.$$
Ответ: $$x=-12,\,-11,\,0,\,1.$$
2) Решим уравнение $$x^2-4|x|-32=0.$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем
$$x^2-4x-32=0.$$
$$D=16+128=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}.$$
Тогда $$x_1=-4$$ не подходит, а $$x_2=8.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и имеем
$$x^2+4x-32=0.$$
$$D=16+128=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 12}{2}.$$
Тогда $$x_1=-8$$ подходит, а $$x_2=4$$ не подходит.
Ответ: $$x=-8,\;8.$$
3) Решим уравнение $$x|x|+5x-4=0.$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x^2+5x-4=0.$$
$$D=25+16=41,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{41}}{2}.$$
Из них подходит только
$$x=\frac{-5+\sqrt{41}}{2},$$
так как при $$x\ge 0$$ второй корень отрицателен.
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x^2+5x-4=0,$$
$$x^2-5x+4=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
Получаем $$x=1$$ и $$x=4,$$ но оба значения не подходят, так как должны быть отрицательными.
Ответ: $$x=\frac{-5+\sqrt{41}}{2}.$$
4) Решим уравнение $$x^2+8\sqrt{x^2}-20=0.$$
Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ получаем
$$x^2+8|x|-20=0.$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x^2+8x-20=0.$$
$$D=64+80=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 12}{2}.$$
Тогда $$x_1=-10$$ не подходит, а $$x_2=2.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$x^2-8x-20=0.$$
$$D=64+80=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 12}{2}.$$
Тогда $$x_1=-2$$ подходит, а $$x_2=10$$ не подходит.
Ответ: $$x=-2,\;2.$$
