Упр.135 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$|x^2-x-1|=1$$; 2) $$x^2-2|x|-8=0$$; 3) $$x|x|+8x-7=0$$; 4) $$x^2+7v(x^2)-18=0$$.

1) Рассмотрим два случая:

$$|x^2-x-1|=1$$

Если $$x^2-x-1=-1,$$ то
$$x^2-x=0$$
$$x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1.$$

Если $$x^2-x-1=1,$$ то
$$x^2-x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2.$$

Итак, $$x=-1,\,0,\,1,\,2.$$

2) Пусть $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и получаем

$$x^2-2x-8=0$$
$$D=4+32=36$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=4.$$

Подходит только $$x=4.$$

Пусть $$x<0.$$ Тогда $$|x|=-x,$$ и

$$x^2+2x-8=0$$
$$D=4+32=36$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=2.$$

Подходит только $$x=-4.$$

Значит, $$x=\pm 4.$$

3) Рассмотрим два случая:

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x|x|+8x-7=0$$
$$x^2+8x-7=0$$
$$D=64+28=92=4\cdot 23$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 2\sqrt{23}}{2}=-4\pm \sqrt{23}.$$

Подходит только $$x=-4+\sqrt{23}.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x^2+8x-7=0$$
$$x^2-8x+7=0$$
$$D=64-28=36$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=7.$$

Оба корня не подходят, так как $$x<0.$$

Следовательно, $$x=-4+\sqrt{23}.$$

4) Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ имеем

$$x^2+7|x|-18=0$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x^2+7x-18=0$$
$$D=49+72=121$$
$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{2}$$
$$x_1=-9,\quad x_2=2.$$

Подходит только $$x=2.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$x^2-7x-18=0$$
$$D=49+72=121$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 11}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=9.$$

Подходит только $$x=-2.$$

Значит, $$x=\pm 2.$$

Ответ: 1) $$-1,\,0,\,1,\,2$$; 2) $$\pm 4$$; 3) $$-4+\sqrt{23}$$; 4) $$\pm 2$$.