Упр.12 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $$c$$ значение дроби: 1) $$\frac{c^2-2c+2}{c^2+18c+81}$$ положительное; 2) $$\frac{10c-25-c^2}{c^8+1}$$ неположительное.

1) Преобразуем дробь:

$$\frac{c^2-2c+2}{c^2+18c+81}=\frac{c^2-2c+1+1}{(c+9)^2}=\frac{(c-1)^2+1}{(c+9)^2}.$$

Числитель $$(c-1)^2+1>0$$ при любых значениях $$c$$, а знаменатель $$(c+9)^2>0$$ при всех допустимых значениях $$c$$, кроме $$c=-9$$, где дробь не определена. Значит, при всех допустимых значениях переменной дробь положительна.

2) Преобразуем дробь:

$$\frac{10c-25-c^2}{c^8+1}=\frac{-(c^2-10c+25)}{c^8+1}=\frac{-(c-5)^2}{c^8+1}.$$

Так как $$-(c-5)^2\le 0$$, а $$c^8+1>0$$ при любых $$c$$, то вся дробь неположительна.

Ответ: 1) положительное; 2) неположительное.