Упр.12 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $$b$$ значение дроби:

1) $$\frac{14b-b^2-50}{b^2+2b+1}$$ отрицательное;

2) $$\frac{b^2-16b+64}{b^6+1}$$ неотрицательное.

1) $$\frac{14b-b^2-50}{b^2+2b+1}=\frac{-(b^2-14b+50)}{(b+1)^2}=-\frac{(b-7)^2+1}{(b+1)^2}.$$

Так как $$(b-7)^2+1>0$$ при любых значениях $$b$$, а $$(b+1)^2>0$$ при всех допустимых значениях $$b\neq -1$$, то

$$-\frac{(b-7)^2+1}{(b+1)^2}<0.$$

Значит, дробь отрицательна при всех допустимых значениях переменной.

2) $$\frac{b^2-16b+64}{b^6+1}=\frac{(b-8)^2}{b^6+1}.$$

Так как $$(b-8)^2\ge 0$$ при любых значениях $$b$$, а $$b^6+1>0$$ при любых значениях $$b$$, то

$$\frac{(b-8)^2}{b^6+1}\ge 0.$$

Следовательно, дробь неотрицательна при всех значениях переменной.

Ответ: 1) отрицательное; 2) неотрицательное.