Упр.12 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $$a$$ значение дроби: 1) $$\frac{a^2+6a+10}{a^2-10a+25}$$ положительное; 2) $$\frac{4a-4-a^2}{a^4+1}$$ неположительное.

1) $$\frac{a^2+6a+10}{a^2-10a+25}=\frac{a^2+6a+10}{(a-5)^2}.$$

Числитель можно представить так:

$$a^2+6a+10=(a+3)^2+1>0.$$

Знаменатель при всех допустимых значениях переменной неотрицателен и равен нулю только при $$a=5$$, поэтому при $$a\ne 5$$

$$\frac{a^2+6a+10}{(a-5)^2}>0.$$

Значит, дробь положительна при всех допустимых значениях $$a.$$

2) $$\frac{4a-4-a^2}{a^4+1}=\frac{-(a^2-4a+4)}{a^4+1}=\frac{-(a-2)^2}{a^4+1}.$$

Так как $$-(a-2)^2\le 0,$$ а $$a^4+1>0$$ при любом $$a,$$ то

$$\frac{-(a-2)^2}{a^4+1}\le 0.$$

Следовательно, дробь неположительна при всех значениях переменной.

Ответ

1) положительное; 2) неположительное.