Упр.118 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: 1) $$\sqrt{(\sqrt{a}+6)^2-24\sqrt{a}}+\sqrt{(\sqrt{a}-7)^2+28\sqrt{a}}$$; 2) $$\sqrt{c+2\sqrt{c+5}+6}+\sqrt{c-2\sqrt{c+5}+6}$$.

1) $$\sqrt{(\sqrt a+6)^2-24\sqrt a}+\sqrt{(\sqrt a-7)^2+28\sqrt a}$$

$$=\sqrt{a+12\sqrt a+36-24\sqrt a}+\sqrt{a-14\sqrt a+49+28\sqrt a}$$

$$=\sqrt{a-12\sqrt a+36}+\sqrt{a+14\sqrt a+49}$$

$$=\sqrt{(\sqrt a-6)^2}+\sqrt{(\sqrt a+7)^2}$$

$$=|\sqrt a-6|+|\sqrt a+7|.$$

Так как $$\sqrt a+7>0,$$ то $$|\sqrt a+7|=\sqrt a+7.$$

Тогда:

если $$a\ge 36,$$ то $$|\sqrt a-6|=\sqrt a-6,$$ и

$$|\sqrt a-6|+|\sqrt a+7|=\sqrt a-6+\sqrt a+7=2\sqrt a+1;$$

если $$a<36,$$ то $$|\sqrt a-6|=6-\sqrt a,$$ и

$$|\sqrt a-6|+|\sqrt a+7|=6-\sqrt a+\sqrt a+7=13.$$

2) $$\sqrt{c+2\sqrt{c+5}+6}+\sqrt{c-2\sqrt{c+5}+6}$$

$$=\sqrt{(c+5)+2\sqrt{c+5}+1}+\sqrt{(c+5)-2\sqrt{c+5}+1}$$

$$=\sqrt{(\sqrt{c+5}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{c+5}-1)^2}$$

$$=|\sqrt{c+5}+1|+|\sqrt{c+5}-1|.$$

Так как $$\sqrt{c+5}+1>0,$$ то $$|\sqrt{c+5}+1|=\sqrt{c+5}+1.$$

Если $$c\ge -4,$$ то $$\sqrt{c+5}\ge 1,$$ значит $$|\sqrt{c+5}-1|=\sqrt{c+5}-1,$$ и

$$|\sqrt{c+5}+1|+|\sqrt{c+5}-1|=2\sqrt{c+5}.$$

Если $$c<-4,$$ то $$\sqrt{c+5}<1,$$ значит $$|\sqrt{c+5}-1|=1-\sqrt{c+5},$$ и

$$|\sqrt{c+5}+1|+|\sqrt{c+5}-1|=2.$$

Ответ

1) $$\begin{cases}2\sqrt a+1,&a\ge 36,\\13,&a<36;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}2\sqrt{c+5},&c\ge -4,\\2,&c<-4.\end{cases}$$