Упр.118 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: 1) $$\sqrt{(3-\sqrt{a})^2+12\sqrt{a}}-\sqrt{(1+\sqrt{a})^2-4\sqrt{a}}$$; 2) $$\sqrt{b-2\sqrt{b+7}+8}+\sqrt{b+2\sqrt{b+7}+8}$$.

1. $$\sqrt{(3-\sqrt a)^2+12\sqrt a}-\sqrt{(1+\sqrt a)^2-4\sqrt a}$$

   Преобразуем подкоренные выражения:
   $$\sqrt{9-6\sqrt a+a+12\sqrt a}-\sqrt{1+2\sqrt a+a-4\sqrt a}$$
   $$=\sqrt{9+6\sqrt a+a}-\sqrt{1-2\sqrt a+a}$$
   $$=\sqrt{(3+\sqrt a)^2}-\sqrt{(1-\sqrt a)^2}$$
   $$=|3+\sqrt a|-|1-\sqrt a|.$$

   Так как $$3+\sqrt a \ge 0,$$ то $$|3+\sqrt a|=3+\sqrt a.$$

   Если $$a\ge 1,$$ то $$|1-\sqrt a|=\sqrt a-1,$$ и тогда
   $$3+\sqrt a-(\sqrt a-1)=4.$$

   Если $$a<1,$$ то $$|1-\sqrt a|=1-\sqrt a,$$ и тогда
   $$3+\sqrt a-(1-\sqrt a)=2+2\sqrt a.$$

2. $$\sqrt{b-2\sqrt{b+7}+8}+\sqrt{b+2\sqrt{b+7}+8}$$

   Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
   $$\sqrt{b+7-2\sqrt{b+7}+1}+\sqrt{b+7+2\sqrt{b+7}+1}$$
   $$=\sqrt{(\sqrt{b+7}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{b+7}+1)^2}$$
   $$=|\sqrt{b+7}-1|+|\sqrt{b+7}+1|.$$

   Так как $$\sqrt{b+7}+1>0,$$ то $$|\sqrt{b+7}+1|=\sqrt{b+7}+1.$$

   Если $$b\ge -6,$$ то $$\sqrt{b+7}\ge 1,$$ и
   $$|\sqrt{b+7}-1|=\sqrt{b+7}-1,$$
   поэтому
   $$\sqrt{b+7}-1+\sqrt{b+7}+1=2\sqrt{b+7}.$$

   Если $$b<-6,$$ то $$\sqrt{b+7}<1,$$ и
   $$|\sqrt{b+7}-1|=1-\sqrt{b+7},$$
   поэтому
   $$1-\sqrt{b+7}+\sqrt{b+7}+1=2.$$

Ответ

1) $$\begin{cases} 4, & a\ge 1,\\ 2+2\sqrt a, & a<1; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} 2\sqrt{b+7}, & b\ge -6,\\ 2, & b<-6. \end{cases}$$