Упр.118 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\sqrt{(\sqrt{a}+2)^2-8\sqrt{a}}+\sqrt{(\sqrt{a}-1)^2+4\sqrt{a}}$$;
2. $$\sqrt{a+2\sqrt{a+1}+2}+\sqrt{a-2\sqrt{a+1}+2}$$.

1) $$\sqrt{(\sqrt a+2)^2-8\sqrt a}+\sqrt{(\sqrt a-1)^2+4\sqrt a}$$

$$=\sqrt{a+4\sqrt a+4-8\sqrt a}+\sqrt{a-2\sqrt a+1+4\sqrt a}$$

$$=\sqrt{a-4\sqrt a+4}+\sqrt{a+2\sqrt a+1}$$

$$=\sqrt{(\sqrt a-2)^2}+\sqrt{(\sqrt a+1)^2}$$

$$=|\sqrt a-2|+|\sqrt a+1|.$$

Так как $$\sqrt a+1>0,$$ то $$|\sqrt a+1|=\sqrt a+1.$$

Если $$a\ge 4,$$ то $$|\sqrt a-2|=\sqrt a-2,$$ и тогда

$$|\sqrt a-2|+|\sqrt a+1|=\sqrt a-2+\sqrt a+1=2\sqrt a-1.$$

Если $$0\le a<4,$$ то $$|\sqrt a-2|=2-\sqrt a,$$ и тогда

$$|\sqrt a-2|+|\sqrt a+1|=2-\sqrt a+\sqrt a+1=3.$$

2) $$\sqrt{a+2\sqrt{a+1}+2}+\sqrt{a-2\sqrt{a+1}+2}$$

$$=\sqrt{(a+1)+2\sqrt{a+1}+1}+\sqrt{(a+1)-2\sqrt{a+1}+1}$$

$$=\sqrt{(\sqrt{a+1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{a+1}-1)^2}$$

$$=|\sqrt{a+1}+1|+|\sqrt{a+1}-1|.$$

Так как $$\sqrt{a+1}+1>0,$$ то $$|\sqrt{a+1}+1|=\sqrt{a+1}+1.$$

Если $$\sqrt{a+1}\ge 1,$$ то $$|\sqrt{a+1}-1|=\sqrt{a+1}-1,$$ и тогда

$$|\sqrt{a+1}+1|+|\sqrt{a+1}-1|=2\sqrt{a+1}.$$

Если $$\sqrt{a+1}<1,$$ то $$|\sqrt{a+1}-1|=1-\sqrt{a+1},$$ и тогда

$$|\sqrt{a+1}+1|+|\sqrt{a+1}-1|=2.$$

Ответ

1) $$\begin{cases}2\sqrt a-1,& a\ge 4,\\3,& 0\le a<4;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}2\sqrt{a+1},& a\ge 0,\\2,& -1\le a<0.\end{cases}$$