Упр.117 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$$;
2. $$\sqrt{100-18\sqrt{19}}$$;
3. $$\sqrt{36+10\sqrt{11}}+\sqrt{47-12\sqrt{11}}$$;
4. $$\sqrt{87-16\sqrt{23}}-\sqrt{39-8\sqrt{23}}$$.

1) $$\sqrt{7+4\sqrt3}=\sqrt{4+4\sqrt3+3}=\sqrt{(2+\sqrt3)^2}=2+\sqrt3.$$

2) $$\sqrt{100-18\sqrt{19}}=\sqrt{81-18\sqrt{19}+19}=\sqrt{(9-\sqrt{19})^2}=9-\sqrt{19}.$$

3) $$\sqrt{36+10\sqrt{11}}+\sqrt{47-12\sqrt{11}}=\sqrt{25+10\sqrt{11}+11}+\sqrt{36-12\sqrt{11}+11}$$

$$=\sqrt{(5+\sqrt{11})^2}+\sqrt{(6-\sqrt{11})^2}=|5+\sqrt{11}|+|6-\sqrt{11}|=5+\sqrt{11}+6-\sqrt{11}=11.$$

4) $$\sqrt{87-16\sqrt{23}}-\sqrt{39-8\sqrt{23}}=\sqrt{64-16\sqrt{23}+23}-\sqrt{16-8\sqrt{23}+23}$$

$$=\sqrt{(8-\sqrt{23})^2}-\sqrt{(4-\sqrt{23})^2}=|8-\sqrt{23}|-|4-\sqrt{23}|.$$

Так как $$8-\sqrt{23}>0,$$ а $$4-\sqrt{23}<0,$$ то

$$|8-\sqrt{23}|=8-\sqrt{23}, \qquad |4-\sqrt{23}|=\sqrt{23}-4.$$

Следовательно,

$$8-\sqrt{23}-(\sqrt{23}-4)=12-2\sqrt{23}.$$

Ответ: 1) $$2+\sqrt3$$; 2) $$9-\sqrt{19}$$; 3) $$11$$; 4) $$12-2\sqrt{23}$$.