Упр.117 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1) $$\sqrt{27+10\sqrt{2}}$$;

2) $$\sqrt{14-2\sqrt{13}}$$;

3) $$\sqrt{25+4\sqrt{21}}+\sqrt{70-14\sqrt{21}}$$;

4) $$\sqrt{24-6\sqrt{15}}-\sqrt{115-20\sqrt{15}}$$.

1) $$\sqrt{27+10\sqrt2}=\sqrt{25+10\sqrt2+2}=\sqrt{(5+\sqrt2)^2}=|5+\sqrt2|=5+\sqrt2.$$

2) $$\sqrt{14-2\sqrt{13}}=\sqrt{13-2\sqrt{13}+1}=\sqrt{(\sqrt{13}-1)^2}=|\sqrt{13}-1|=\sqrt{13}-1.$$

3) $$\sqrt{25+4\sqrt{21}}+\sqrt{70-14\sqrt{21}}$$
$$=\sqrt{4+4\sqrt{21}+21}+\sqrt{49-14\sqrt{21}+21}$$
$$=\sqrt{(2+\sqrt{21})^2}+\sqrt{(7-\sqrt{21})^2}$$
$$=|2+\sqrt{21}|+|7-\sqrt{21}|=2+\sqrt{21}+7-\sqrt{21}=9.$$

4) $$\sqrt{24-6\sqrt{15}}-\sqrt{115-20\sqrt{15}}$$
$$=\sqrt{9-6\sqrt{15}+15}-\sqrt{100-20\sqrt{15}+15}$$
$$=\sqrt{(3-\sqrt{15})^2}-\sqrt{(10-\sqrt{15})^2}$$
$$=|3-\sqrt{15}|-|10-\sqrt{15}|.$$

Так как $$\sqrt{15}>3$$ и $$10>\sqrt{15},$$ то

$$|3-\sqrt{15}|=\sqrt{15}-3,\qquad |10-\sqrt{15}|=10-\sqrt{15}.$$

Тогда

$$\sqrt{24-6\sqrt{15}}-\sqrt{115-20\sqrt{15}}=(\sqrt{15}-3)-(10-\sqrt{15})=2\sqrt{15}-13.$$

Ответ: 1) $$5+\sqrt2$$; 2) $$\sqrt{13}-1$$; 3) $$9$$; 4) $$2\sqrt{15}-13$$.