Упр.106 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Упростите выражение:
- 1) $$\frac{c}{c-4}-\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}-2}$$;
2) $$\frac{a+b}{2a+2\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$;
3) $$\frac{\sqrt{m}+9}{\sqrt{m}}:\frac{m-81}{5m}$$;
4) $$\left(\frac{\sqrt{b}+7}{\sqrt{b}-7}-\frac{28\sqrt{b}}{b-49}\right):\frac{\sqrt{b}-7}{b+7\sqrt{b}}$$.
1) $$\frac{c}{c-4}-\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}-2}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{c}{(\sqrt{c}-2)(\sqrt{c}+2)}-\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}-2}$$
$$=\frac{c-\sqrt{c}(\sqrt{c}+2)}{(\sqrt{c}-2)(\sqrt{c}+2)}$$
$$=\frac{c-c-2\sqrt{c}}{c-4}=-\frac{2\sqrt{c}}{c-4}=\frac{2\sqrt{c}}{4-c}.$$
2) $$\frac{a+b}{2a+2\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
Так как $$2a+2\sqrt{ab}=2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}),$$ то
$$\frac{a+b}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
$$=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$$
$$=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}}.$$
3) $$\frac{\sqrt{m}+9}{\sqrt{m}}:\frac{m-81}{5m}$$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$\frac{\sqrt{m}+9}{\sqrt{m}}\cdot\frac{5m}{m-81}$$
$$=\frac{(\sqrt{m}+9)\cdot 5m}{\sqrt{m}(m-81)}.$$
Так как $$m-81=(\sqrt{m}-9)(\sqrt{m}+9),$$ получаем
$$\frac{(\sqrt{m}+9)\cdot 5m}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-9)(\sqrt{m}+9)}=\frac{5m}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-9)}=\frac{5\sqrt{m}}{\sqrt{m}-9}.$$
4) $$\left(\frac{\sqrt{b}+7}{\sqrt{b}-7}-\frac{28\sqrt{b}}{b-49}\right):\frac{\sqrt{b}-7}{b+7\sqrt{b}}$$
Так как $$b-49=(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7),$$ то
$$\frac{\sqrt{b}+7}{\sqrt{b}-7}-\frac{28\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)}$$
$$=\frac{(\sqrt{b}+7)^2-28\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)}$$
$$=\frac{b+14\sqrt{b}+49-28\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)}$$
$$=\frac{b-14\sqrt{b}+49}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)}=\frac{(\sqrt{b}-7)^2}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)}.$$
Теперь делим на дробь:
$$\frac{\sqrt{b}-7}{\sqrt{b}+7}\cdot\frac{b+7\sqrt{b}}{\sqrt{b}-7}=\frac{b+7\sqrt{b}}{\sqrt{b}+7}=\sqrt{b}.$$
Ответ
1) $$\frac{2\sqrt{c}}{4-c}$$; 2) $$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}}$$; 3) $$\frac{5\sqrt{m}}{\sqrt{m}-9}$$; 4) $$\sqrt{b}$$.
