Упр.105 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите значение выражения: 1) $$\frac{12}{12-5\sqrt{6}}-\frac{12}{12+5\sqrt{6}}$$; 2) $$\frac{3}{\sqrt{7+\sqrt{24}}-1}-\frac{3}{\sqrt{7+\sqrt{24}}+1}$$; 3) $$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$.

1) $$\frac{12}{12-5\sqrt6}-\frac{12}{12+5\sqrt6}=\frac{12(12+5\sqrt6)-12(12-5\sqrt6)}{(12-5\sqrt6)(12+5\sqrt6)}$$

$$=\frac{144+60\sqrt6-144+60\sqrt6}{144-25\cdot 6}=\frac{120\sqrt6}{144-150}=\frac{120\sqrt6}{-6}=-20\sqrt6.$$

2) $$\frac{3}{\sqrt{7+\sqrt{24}}-1}-\frac{3}{\sqrt{7+\sqrt{24}}+1}$$

$$=\frac{3\bigl(\sqrt{7+\sqrt{24}}+1\bigr)-3\bigl(\sqrt{7+\sqrt{24}}-1\bigr)}{\bigl(\sqrt{7+\sqrt{24}}-1\bigr)\bigl(\sqrt{7+\sqrt{24}}+1\bigr)}$$

$$=\frac{3\bigl(\sqrt{7+\sqrt{24}}+1-\sqrt{7+\sqrt{24}}+1\bigr)}{(7+\sqrt{24})-1}=\frac{6}{6+\sqrt{24}}.$$

Так как $$\sqrt{24}=2\sqrt6,$$ то

$$\frac{6}{6+2\sqrt6}=\frac{6}{2(3+\sqrt6)}=\frac{3}{3+\sqrt6}=\frac{3(3-\sqrt6)}{(3+\sqrt6)(3-\sqrt6)}=\frac{3(3-\sqrt6)}{9-6}=3-\sqrt6.$$

3) $$\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}+\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}$$

$$=\frac{(\sqrt5-\sqrt3)^2+(\sqrt5+\sqrt3)^2}{(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)}$$

$$=\frac{(5-2\sqrt{15}+3)+(5+2\sqrt{15}+3)}{5-3}=\frac{16}{2}=8.$$

Ответ: 1) $$-20\sqrt6$$; 2) $$3-\sqrt6$$; 3) $$8$$.