Контрольная работа 1 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{7}{x+11}$$?
- Сократите дробь:
1) $$\frac{36a^{12}b^7}{54a^8b^{11}}$$;
2) $$\frac{18mn-27m}{9mn}$$;
3) $$\frac{3c+15}{c^2-25}$$;
4) $$\frac{x^2-14x+49}{49-x^2}$$. - Выполните вычитание:
1) $$\frac{5x-6}{6x^2}-\frac{4-9x}{9x^3}$$;
2) $$\frac{42}{b^2+7b}-\frac{6}{b}$$;
3) $$\frac{c^2}{c^2-16}-\frac{c}{c+4}$$;
4) $$3y-\frac{18y^2}{6y+1}$$. - Упростите выражение:
1) $$\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}$$;
2) $$\frac{6b^3+48b}{b^3+64}-\frac{3b^2}{b^2-4b+16}$$. - Известно, что $$\frac{x+4y}{y}=10$$. Найдите значение выражения:
1) $$\frac{x}{y}$$;
2) $$\frac{7x-y}{x}$$. - Постройте график функции $$y=\frac{3x^2+4x}{x}-\frac{x^2-1}{x+1}$$.
1) Выражение $$\frac{7}{x+11}$$ имеет смысл, если знаменатель не равен нулю:
$$x+11\ne 0,$$
$$x\ne -11.$$
2) Сократим дроби:
$$\frac{36a^{12}b^7}{54a^8b^{11}}=\frac{2a^4}{3b^4}.$$
$$\frac{18mn-27m}{9mn}=\frac{9m(2n-3)}{9mn}=\frac{2n-3}{n}.$$
$$\frac{3c+15}{c^2-25}=\frac{3(c+5)}{(c-5)(c+5)}=\frac{3}{c-5}.$$
$$\frac{x^2-14x+49}{49-x^2}=\frac{(x-7)^2}{(7-x)(7+x)}=\frac{7-x}{7+x}.$$
3) Выполним вычитание:
$$\frac{5x-6}{6x^2}-\frac{4-9x}{9x^3}=\frac{3x(5x-6)-2(4-9x)}{18x^3}=\frac{15x^2-8}{18x^3}.$$
$$\frac{42}{b^2+7b}-\frac{6}{b}=\frac{42}{b(b+7)}-\frac{6(b+7)}{b(b+7)}=\frac{42-6b-42}{b(b+7)}=-\frac{6}{b+7}.$$
$$\frac{c^2}{c^2-16}-\frac{c}{c+4}=\frac{c^2}{(c-4)(c+4)}-\frac{c(c-4)}{(c-4)(c+4)}=\frac{4c}{(c-4)(c+4)}=\frac{4c}{c^2-16}.$$
$$3y-\frac{18y^2}{6y+1}=\frac{3y(6y+1)-18y^2}{6y+1}=\frac{3y}{6y+1}.$$
4) Упростим выражения:
$$\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}$$
$$=\frac{y+6}{4(y+2)}-\frac{y+2}{4(y-2)}+\frac{5}{(y-2)(y+2)}$$
$$=\frac{(y+6)(y-2)-(y+2)^2+20}{4(y-2)(y+2)}=\frac{4}{4(y^2-4)}=\frac{1}{y^2-4}.$$
$$\frac{6b^3+48b}{b^3+64}-\frac{3b^2}{b^2-4b+16}$$
$$=\frac{6b(b^2+8)}{(b+4)(b^2-4b+16)}-\frac{3b^2(b+4)}{(b+4)(b^2-4b+16)}$$
$$=\frac{6b^3+48b-3b^3-12b^2}{(b+4)(b^2-4b+16)}$$
$$=\frac{3b(b^2-4b+16)}{(b+4)(b^2-4b+16)}=\frac{3b}{b+4}.$$
5) Из условия
$$\frac{x+4y}{y}=10$$
получаем
$$x+4y=10y,$$
$$x=6y.$$
Тогда:
$$\frac{x}{y}=\frac{6y}{y}=6.$$
$$\frac{7x-y}{x}=\frac{7\cdot 6y-y}{6y}=\frac{41y}{6y}=\frac{41}{6}=6\frac{5}{6}.$$
6) Преобразуем выражение:
$$y=\frac{3x^2+4x}{x}-\frac{x^2-1}{x+1}.$$
Так как $$x\ne 0$$ и $$x\ne -1,$$ имеем:
$$\frac{3x^2+4x}{x}=3x+4,$$
$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1.$$
Тогда
$$y=3x+4-(x-1)=2x+5.$$
График — прямая $$y=2x+5$$, при $$x\ne 0$$ и $$x\ne -1$$. Для построения можно взять точки $$(0;5)$$ и $$(2;9)$$ и провести через них прямую, исключив точки с абсциссами $$0$$ и $$-1$$.
Ответ: 1) $$x\ne -11$$; 2) $$\frac{2a^4}{3b^4},\ \frac{2n-3}{n},\ \frac{3}{c-5},\ \frac{7-x}{7+x}$$; 3) $$\frac{15x^2-8}{18x^3},\ -\frac{6}{b+7},\ \frac{4c}{c^2-16},\ \frac{3y}{6y+1}$$; 4) $$\frac{1}{y^2-4},\ \frac{3b}{b+4}$$; 5) $$6,\ \frac{41}{6}$$; 6) $$y=2x+5,\ x\ne 0,\ x\ne -1$$.
